人过中年，偶尔会惊讶于曾经平常的过往竟是此生的高光。就如这立秋后的天气，总比预想的要凉一些...



下着雨的傍晚，滨堤路上只有垂钓有瘾的大叔和略显游手好闲的我了。花田里沐浴的百日菊，没了热衷摆拍的大妈们的喧闹，更多了几分雍容；草叶下避雨的那白蝴蝶真是机智，少了平日的警觉和机敏，更像是嘲笑这扛着大伞的；收起翅膀的蓝蝴蝶分明是待书写的墨汁，我学它记录一下生活的点滴...

最近没少因为求师得网站的事折腾。一个小老师鼓捣什么网站呢？还不是因为习惯，习惯了读书、记录和分享，就如习惯了活着。有时也质问自己为什么不去死，除了生性怯懦，身体里多少还有那么一点硬的坚持，不想放弃理想，也不想放弃成长......
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感谢刘洋先生的慷慨相助！

《无穷小》Infinitesimal
一个危险的数学理论如何塑造了现代世界 阿米尔·亚历山大著 凌波 译
人物
Galileo Galilei伽利略·伽利雷 因为提倡哥白尼的学说而遭SJ的迫害...伽利略在他的作品中使用了无穷小量，并支持和鼓励年轻一代数学家发展这一概念。即使在遭到判决之后，仍是意大利无穷小量论者的无可争议的领袖。
托里拆利是伽利略的弟子，并最终成为伽利略在佛罗伦萨的继任者。最突出的成就是，成功计算出了具有无穷长度的几何体的体积。
弗朗西斯·培根本身不是一位科学家，但由于他倡导利用实验法对自然界进行研究，因此仍被认为是科学革命的领军人物之一。
罗伯特·波义耳 现代化学的奠基人之一，在伦敦皇家学会的早期成员之一，是一位杰出的和最受人敬佩的科学家。倡导以谦虚的实验法作为研究自然的正确方法，认为实验法无论对宗教还是对国家都是有益的。
查理二世 1662年对一个由自然哲学家组成的团体授予了皇家特许状，这些哲学家相信，他们对自然的研究方法将会对社会和政治的和平起到至关重要的作用。这个团体最终成为伦敦皇家学会。
乌尔班八世 就任教皇之前是伽利略的朋友和保护者，当上教皇之后继续作为伽利略的资助者，这引起了罗马一个黄金“自由时代”。但到了1632年，在伽利略发表了关于哥白尼体系的《对话》以及一些不利的政治姿态之后，改变了对伽利略的立场，从而导致了后者的受审判、被流放。从此，SJ重返罗马的权利中心，并能更加自由地压制无穷小学说。
查尔斯·卡文迪许 卡文迪许家族是英国最伟大的贵族之一...也是霍布斯的终身资助人。

时间
公元前6世纪，毕达哥拉斯及其追随者声称“万物皆数”，世界上的所有事物都可以用整数的比值来进行描述。
公元前5世纪，德谟克利特用无穷小计算了圆锥体和圆柱体的体积。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现了不可通约性（即无理数）。由此可见，不同的数值不是由独立的微小原子或无穷小量构成的。
公元前5世纪，芝诺提出了若干悖论，说明无穷小会导致逻辑上的矛盾。此后无穷小成了古代数学家有意避开的问题。
公元前300年，欧几里得发表了《几何原本》，它小心避开了无穷小问题。
公元前250年，阿基米德打破了回避无穷小的常规，开始尝试利用无穷小解决问题。
1616年，伽利略不仅提倡了哥白尼学说，而且使用无穷小方法，SJ与他发生了冲突。
1637年，伽利略的《两种新科学的对话》在荷兰莱顿获得出版，这本书讨论了无穷小的长度，并称赞弟子卡瓦列里为新阿基米德。（这本书谈了运动相对性，等比例放大不可行性等）
1684年，莱布尼兹在《教师学报》杂志上发表了第一篇关于微积分的学术论文。
1687年，牛顿出版了《自然哲学的数学原理》，对物理学起到了革命性作用，并建立了首个有关太阳系的现代理论。
1703年，沃利斯去世。被誉为领先的数学家、微积分的先驱，以及伦敦皇家学会的创始人之一。

“我就是国家”
数学原子
柏拉图把几何学作为自己哲学体系中的正确理性推理的模型，据说柏拉图在自己学院的入口处刻上了“不懂几何者莫入”的标语。
一
对抗无序之战
“没有上级与下级之间的绝对服从就不会有秩序。”依纳爵·罗耀拉
1依纳爵的孩子
“圣人是上帝的军队，他们永远在对抗魔鬼，防止魔鬼侵占人类的灵魂。”
他的虔诚和自我强加的贫穷给他的同学们留下了深刻的印象。
每个成员都立下了传统的修士誓言，即贫穷、贞洁和服从。
利玛窦是SJ会士。
传统的神秘主义者往往会被导向孤独的生活和深刻的自省。但SJ会士则与之相反，他们将自己内心的自信投射到万物之上，践行自律、秩序和忍耐。这使得他们成为世界上最有效的一个组织。他们具有神秘主义者的积极性和确定性，并且具有一支精锐部队所应具备的严密的组织和专注的目标。
传统的教区学校不仅教学质量令人堪忧，而且据说那些伟大的大学中的学生很少专注于实际的学术研究。SJ却与之截然相反，他们为学生提供了严格的课程设置，并由高素质的教师队伍进行授课，而且罗马学院的杰出学者还会对课程进行定期更新。
《圣依纳爵的奇迹》
SJ不相信少数服从多数，在他们看来，真理是绝对的。他们不相信权力和权威的多元化，一但真理被发现，那么所有的权力必须归属于那些知道真理的人，并将真理强加给那些还没有接受它的人。“真理”不会给异议和挑战留下任何空间，他们认为，只有上帝的使者所具有的绝对权威以及他们所持有的神圣真理，才能使世界实现和平与和谐。
2数学的秩序
“对于我们来说，课程与学术实践就如同鱼钩一样，我们靠它来钓灵魂之鱼。”
“不仅要避免创新，而且要避免任何人怀疑我们在试图创造新的东西。”（比封建主义还封建吗？）
1582年成为历史上唯一仅有的355天的年份。
最后一个采用格里历的欧洲国家是希腊，直到1923年才采用。
在数学领域，真理可以通过自身的证明强迫读者接受它，不管他们喜欢与否。
数学可以强加在听着的头脑中，甚至能迫使那些最顽固的人接受数学真理。
在每一步推导中，欧几里得不只证明其结果是合理的，或是有可能的，而是证明其结果是绝对正确的。
几何学的严格性和层次性，使得几何学成为SJ会士心目中的理想科学。
学习和传授数学的全部意义就在于，它展示了如何将普遍真理以理性、有序和不可避免的方式强加给这个世界。
“人们宁愿受到克拉维斯的责备，也不愿意得到其他人的赞扬。”
在克拉维斯看来，数学之所以值得研究，不是因为这个学科可以进行开放式的研究并取得新的发现，而是数学能够提供稳定、有序和不变的永恒真理。
3数学的无序
伽利略承认，只要没有专门的论文能够作为科学依据，我们就应该一直接受圣经之书的权威性，领会它最简单、最直接的含义。但是，如果我们确实有了科学依据，那么两者的角色就应该互换，圣经需要得到重新解释，以使圣经之书与自然之书保持一致。
林琴科学院，愿意为猞猁科学院，猞猁这种动物目光明锐，以它为名象征着对自然奥秘的洞悉。伽利略也是院士之一 Academia Linceorum
亚里士多德的车轮悖论。
卡瓦列里的方法从对世界的直觉入手，然后再推广到更广泛和更抽象的数学归纳，这种方法可以被恰当地成为“自下而上”的数学。
卡瓦列里引用了罗马使人贺拉斯的话，将伽利略比作“第一个敢于教育浩瀚的大海，并投身于海洋的人”。
“大自然讨厌真空”的特性使得物体聚合在一起。
托里拆利到来仅仅3个月之后，他的使命便戛然而止。1642年伽利略与世长辞，享年77岁。作为一个被判决为“有强烈异端嫌疑”的人，他被安葬在佛罗伦萨圣十字大教堂的一侧的小房间里，一个世纪以后才被迁到位于中央大殿的荣誉位置。
接下来的6年里，托里拆利成果斐然，此前的他一直鲜为人知，以至于伽利略几乎没有听说过他，卡斯泰利必须把他作为以前的学生来引荐给伽利略。但随着伽利略的去世，以及他被任命为美第奇的宫廷数学家，他一跃成为欧洲领先的科学家之一。
1647年托里切利去世，年仅39岁。
随着1647年接近尾声，意大利数学界的辉煌传统也即将结束。意大利这个天才辈出的时代属于伽利略、卡瓦列里和托里拆利，此后要再过几个世纪才会再次出现像他们这样最高层次的创造性的数学家。
4生存还是灭亡
5数学家之战
对于SJ会士涞水，数学的目的是构造一个确定的、永恒的世界，这个世界的秩序和等级结构永远不应受到挑战。因此，世界上的每样东西都必须细致和理性地构造出来，不能容忍任何矛盾和悖论的存在。

“他是SJ蜂巢中的劳作者，所以可以称他为蜜蜂，这样比喻是再恰当不过了，因为他就像蜜蜂一样，既能制造蜂蜜又能蜇人。一方面，他通过传授最甜蜜的学说来制造蜂蜜，而另一方面，他又会攻击自认为的错误学说。”遗憾的是，贝蒂尼是“一只不幸的蜜蜂”，虽然他“利用自己的毒刺来抵御不可分量学说，但他自己却也处在了危险之中”，因为从安杰利的讨论细节来看，伽利略的悖论证明了贝蒂尼的观点是站不住脚的。

一种方法坚持绝对的完美秩序，而另一种方法却愿意与模糊和不确定性共存。
伽利略公开嘲笑过SJ会士和他们对权威的崇敬，“在科学上，成千上万的观点的权威性也比不上个人的哪怕一次理性思考。”（In the sciences, the authority of thousands of opinions is not worth as much as one tiny spark of reason in an individual man.）
到了17世纪末，无穷小学说已经被镇压下去。在意大利，一场持续数百年的衰退和萧条即将上演。

二 利维坦与无穷小
“对于数学来说，微积分就如同物理学中的实验。”
6利维坦的到来
掘土派
1649年查理一世在伦敦的白厅宫被斩首，这是唯一一位被审判并且被处决的的英国国王。
母亲因为听到西班牙无敌舰队入侵英国的消息，惊吓过度而导致早产。霍布斯在临终之际，在自传中用拉丁文写下的诗句：“我的母亲生了双胞胎，我的孪生兄弟是恐惧。”（有的人的孪生兄弟是贪婪、贫困...）
许多意大利伟大的艺术家和人文主义者比如米开朗基罗等都曾得到过贵族或教皇的资助，即使是当时声名显赫的伽利略，也选择成为美第奇宫廷的朝臣以作为庇护，而他的世俗身份则是帕多瓦大学教授。
培根曾是英国领先的法学家之一，曾担任詹姆斯一世手下的大法官，直到他在1621年被指控贪污并遭弹劾为止。退休之后，他转向了哲学家，把大多数时间都用在整理自己的哲学思想上面，主要涉及自然科学及其正确的研究方法。
那些自认为是培根的真正继承者并把培根的思想付诸实践的学者，却把培根的秘书霍布斯视为最危险的敌人。
“伟大的利维坦，被称为国家...他就是一个人造的人artificial man，但他比普通人具有大得多的身材和力量。”
在霍布斯看来，在自然状态下时没有对与错之分的，因为每个人都会尽自己最大的努力来保证自身利益。只要在利维坦出现时才会有多与错的概念，而对与错的标准很简单。“法律就是唯一的衡量标准，法律体现了国家意志。”
7“几何学家”托马斯·霍布斯
在几何学中，每个结果都是建立在另一个更简单的结果之上，所以人们可以逐步进行逻辑推理，从不证自明的公理开始，一直可以得到更为复杂的结果。这在霍布斯看来是一项了不起的成就：终于有一门科学可以真正地证明其结果，同时人们对其真实性又不会产生任何疑问。因此，他认为几何学是“迄今为止上帝赐予人类的唯一科学”，并且也是其他所有科学的合理模式。
几何学迫使人们达成共识：“因为在几何学中，当其他人发现了他的错误之后，没有人会愚蠢到既然发现了错误却还坚持这个错误的地步。”
高中生之所以如今还在学习欧几里得几何，部分是因为传统，部分是因为借此来传授给学生严格的演绎推理方法。
当时的欧几里得几何被许多人认为是人类的一项崇高成就，是推理方法无懈可击的堡垒。
沃利斯利用自己的人脉关系，从伦敦的印刷工那里获得了未经发表的文本。
8约翰·沃利斯是谁
霍布斯认为，真正的知识源自于正确的定义和严格的逻辑推理；沃利斯认为这种知识既属于上帝又属于魔鬼。沃利斯认为，知识的最高形式是基于感性的，是“看出”，甚至“品尝出”的真理，霍布斯则鄙视这种感性的知识，认为它是不可能的，容易出错的。他们两人似乎只在一个问题上达成了完全的共识：数学是一种关于正确的推理和准确的知识的科学，它应该成为所有其他学科的典范。
在霍布斯看来，内战危机的唯一答案就是专制的利维坦国家；而沃利斯则认为，在国家中应该允许多元化的观点和广泛的不同意见。霍布斯依赖于欧氏几何的严格体系来支持他僵化的利维坦国家，而沃利斯则依赖一种新的数学书方法，它既灵活而强大，又带有矛盾和争议，即无穷小数学。
沃利斯从来没有满足于简单的知道，而是一直在寻求更深刻的理解，“因为这一直是我的习惯，无论学习什么知识，都不只考死记硬背来学习---那这样很快就会忘记，而是要探究所学知识的依据或原因。”
除了和他弟弟学到的这些早期课程之外，所有的数学知识都是沃利斯靠自己自学的。
在整个空位期间，他们定期在伦敦和牛津的私人会所集会，无形学院 invisible college，哲学会 philosophical society。1662年，查理二世复辟时，终于给它办法了正式的许可，并正式命名为伦敦皇家学会。
牛顿在1702年到1727年去世为之一直担任皇家学会会长，法国人拉瓦锡、美国的开国元勋富兰克林、开尔文勋爵、达尔文、卢瑟福、爱因斯坦、沃森和克里克以及霍金都是皇家学会会员。
“他们的首要目的就是为了享受更加自由和宽松的氛围，并能彼此平和地交谈，远离那个阴霾的激情和疯狂。”
实现和平与秩序的唯一方式就是重建有产阶级的权威。

斯普拉特在他的《皇家学会史》中解释道，教条主义哲学的问题在于，“它通常会产生这样一种人，他们自认为已经解决了问题，并且不会再改变自己的观点，他们变得更加专横，并且对反对观点不屑一顾。”这种态度是有害的，因为“这会使他们易于低估别人的劳动，并容易忽略别人的优点。至少，他们应该把自己放低一些”。拉普拉特继续说道，“这是一种精神上的戾气，这是最有害的”。他把这种戾气归结为“人们知识增长缓慢的原因”。更糟糕的是，这种戾气很容易导致对国家的颠覆：“人们藐视一切权力的原因在于他们对自身的智慧的过渡崇拜...他们认为自己是不可能犯错的”。这必然会导致叛乱行为，因为“叛乱的根源就在于骄傲以及对自己智慧的嫉妒自负。从而，他们会想象自己有足够的能力，可以对管理者的一切行动给予指导或者加以指责”。

比培根更年轻的笛卡尔认为，真正的知识必须基于明确而严格的推理；而培根则坚持认为，自然界的真正知识只能通过观察、实验以及仔细地收集事实来获得。对于皇家学会来说，培根可以称得上是实验方法的鼻祖，他也是皇家学会本身的精神之父。
具有讽刺意味的是，培根在他人生的最后岁月的秘书，不是别人，正是霍布斯。
尽管皇家学会的领导者们在努力地使培根偶像化，但他们从未在实际上结识过这位大法官，而他们的敌人霍布斯却曾经是培根亲密的陪伴者。
在培根出现之前的很久一段时间，一直有一些人试图通过错误而粗略的方法获得自然界的秘密。有时，他们会取得成功，如火药和指南针的发明，更多时候则没有那么幸运...任何通过这些方法所获得的知识，即使它被证明是有用的，也都被认为不适合在高等学府进行传授，因为这是“粗鲁”和“靠体力”得来的知识，它与下层阶级有关，只有下层社会的人才会以脏乱环境下的体力工作为生。
培根几乎单凭一己之力破除了这种观念。让英国大法官来提倡经验主义作为获得正确知识的路径，这是再适合不过的了。猛然间，对于具有求知欲的绅士来说，“粗鲁的体力”活动成为他们一项值得从事的追求。
比知识增长更糟糕的是，“数学家的过分讲究和骄傲，他们几乎要让这种科学凌驾于物理学之上”。
培根对数学家“优雅和骄傲”的警告并没有影响他的追随者，皇家学会的正式名是“促进自然-数学实验知识发展学会”，实际上，数学研究确实严格从属于实验性的自然科学研究。
波义耳和他的同仁们所担心的是，数学就其本质而言能够导致绝对真理、教条主义、暴政威胁，并且很容易导致内战。

9数学的新世界
“我始终尽力按照适度的原则行事，介于两个极端之间...而不是带着强烈的敌意去反对那些不按自己想法行事的人，因为我知道，每一方都有许多杰出的人士。”沃利斯
霍布斯去世之前仍然完全相信，他已经成功地解决了化圆为方的问题。
想要构造一个完全可知和理性的数学世界的任何企图，不仅在政治上是危险的，而且在科学上也是一条死胡同。
后记：两种现代性
沃利斯在《无穷算术》和其他作品中得出的结果，得到了他同仁的验证和肯定，毫无疑问，其中最重要一位读者就是那位剑桥大学的年轻本科生---艾萨克·牛顿。1665年牛顿发明了自己版本的无穷小数学，后来承认，他当时主要是受到了《无穷算术》的启发。
在意大利，SJ战胜了伽利略，在英国，则是沃利斯战胜了霍布斯。（在十七世纪中叶发生的关于无穷小的斗争……在一直保持着杰出的数学传统的意大利，SJ战胜了伽利略；在之前没出现过任何著名的几何学家的英国，沃利斯战胜了霍布斯……）
连续体是否由无穷小量构成，这似乎是一个难解的问题，我们很难衡量它所释放出的力量。但当这场斗争在17世纪被引燃的时候，处于交战的双方都认为，对于即将到来的现代世界，这个问题的答案将会影响到生活的各个方面。他们是正确的：当尘埃落定的时候，无穷小量的捍卫者赢得了胜利，他们的敌人被击败了。世界从此更迭一新。

（这本书是从三班要来的，班主任黄老师购买的，她去上海参加国际数学教育大会期间，我抽空读完但没有整理完这本书。）
·期末温习
在意大利，SJ战胜了伽利略，在英国，则是沃利斯战胜了霍布斯。（现在看，意大利停留在伽利略那，而英国出现了牛顿等...）
无穷小量的捍卫者赢得了胜利，他们的敌人被击败了。世界从此更迭一新。

《看不见的城市》（意大利）伊塔洛·卡尔维诺（Italo Calvino，1923—1985）著 张密译
我有很多文件夹，里面放着我根据那些在我头脑中萦绕的思绪而偶然写出的纸页，或者只是我想要写的东西的简要记录。
当一个文件夹渐渐被纸装满时，我就开始思考我能从这里提取出来的那本书了。
城市是是一些交换的地点，但这些交换并不仅仅是货物的交换，他们还是话语的交换，欲望的交换，记录的交换。我的书在幸福城市的图画上打开并合上，这些幸运城市不断地形成并消失，藏在不幸的城市之中。

我对于文学的前途是有信心的，因为我知道世界上存在着只有文学才能以其特殊的手段给予我们的感受。

一
在帝王的生活中，总有某个时刻，在为征服的疆域宽广辽阔而得意自豪之后，帝王又会因为意识到自己将很快放弃对这些地域的认识和了解而感到忧伤和宽慰；会有一种空虚的感觉，在黄昏时分袭来，带着雨后大象的气味，以及火盆里渐冷的檀香木灰烬的味道...会发现我们一直看得珍奇无比的帝国只不过是一个既无止境又无形状的废墟，其腐败的坏疽已经扩散到远非权杖所能救治的程度，而征服敌国的胜利反而使自己承袭了他人的深远祸患，从而陷入绝望。
城市就像一块海绵，吸汲着这些不断涌流的记忆的潮水，并且随之膨胀着。
因为对阿纳斯塔西亚的描述，只能唤起你的一个个欲望，再迫使你把它们压下去，而某天清晨，当你在阿纳斯塔西亚醒来，所有的欲望会一起萌发，把你包围起来。这座城市对于你好像是全部，没有任何欲望会失落，而你自己也是其中一部分，由于她欣赏你不欣赏的一切，所以你就只好安身于欲望之中，并且感到满足。
阿纳斯塔西亚，诡谲的城市，拥有时而恶毒时而善良的力量：你若是每天八小时切割玛瑙、石华和绿玉髓，你的辛苦就会为欲望塑造出形态，而你的欲望也会为你的劳动塑造出形态；你以为自己在享受整个阿纳斯塔西亚，其实你只不过是她的奴隶。
为了让人更容易记住，左拉被迫永远静止不变，于是就萧条了，崩溃了，消失了。大地已经把她忘却了。
二
旅行者的过去会随着他的旅行路线而变化，这并非指没过去一天就补充一天的最近的过去，而是指最遥远的过去。每到一个新城市，旅行者就会发现一段自己未曾经历的过去：已经不复存在的故我和不再拥有的事物的陌生感，在你所陌生的不属于你的异地等待着你。
“你是为了回到你的过去而旅行吗？”可汗要问的话也可以换成：“你是为了找回你的未来而旅行吗？”
马可的回答则是：“别的地方是一块反面的镜子。旅行者能够看到他自己所拥有的是何等的少，而他所未曾拥有和永远不会拥有的是何等的多。”
假如存在的每个瞬间都属于其全部，佐艾城就是一个无法分割的存在的地方。
一类是经历岁月沧桑，而继续让欲望决定自己形态的城市；另一类是要么被欲望抹杀掉，要么将欲望抹杀掉的城市。（人也是这两类吧，前者占据了绝大多数吧）
三
仿佛完成那些城市之间的过渡并不需要旅行，而只需要改变一下她们的组合元素。
城市就像梦境，是希望与畏惧建成的，尽管她的故事线索是隐含的，组合规律是荒谬的，透视感是骗人的，并且每件事物中都隐藏着另外一件。
没有一种语言是绝对不骗人的。
瓦尔德拉达的居民都知道，他们的一举一动都会成为镜子里的动作和形象，都具有特别的尊严，正是这种认识使他们的行为不敢有丝毫疏忽大意。
...因为重要的不在于他们的交合或者凶杀，而在于他们在镜中交合或者凶杀的形象要冷静清晰。
这面镜子有时提高事物的价值，有时又予以贬低。镜子外面似乎贵重的东西，在镜子中却不一定贵重...另个瓦尔德拉达相互依存，目光相接，却不相爱。
四
我知道，我的帝国像一具沼泽地里的尸体一样在腐烂，它的病毒都已经传染给啄食它的乌鸦和把它当做肥料的竹子。
如果你想知道周围有多黑暗，你就得留意远处的微弱光线。
只有当你辨认出任何宝石都无法补偿的不幸的废墟时，你才会准确计算出最后的金刚石该有多少重量，才不会在开始时估计失误。
（求师得数位学习证书的编码当初搞了一套算法，慢慢的给自己搞晕了头。）
虚假永远不在于词语，而在于事物自身。
这样，城市在她空着的棋盘上不断移动着，重复着她始终如一的生活。居民们反复演出同样的场景，知识更换了演员；他们重复着同样的台词，不过改变了口音而已；他们张开不同的嘴巴，打着同样的哈欠。在帝国的所有城市中，只有埃乌特洛比亚始终保持不变。这个城市最尊崇的无常之神墨丘利造出了这种暧昧的奇迹。
如果要我根据自己所见与亲身经历向你描绘阿格劳拉，就只能告诉你，那是一座毫无色彩、毫无特征、只是随意地建在那里的城市。但是，这话也并不真实：在某些时刻、某些街道上，你会看到某种难以混淆的、罕见的、甚至是辉煌的事物；你想讲述与这件事物，可是那些关于阿格劳拉的所有传说已经把你的词汇给封住了，你只能重复那些传说的话，却讲不出自己的话来。

因此，当地居民始终相信他们居住的是一座建立在自己名字之上的阿格劳拉城，而不能发现那座生长在自己土地上的阿格劳拉成。虽然我愿意在记忆中将两座城市区分开保存，但是只能向你讲述其中一座，另外那座则无法用言语表述，因为她早已消逝了。

五
“我的帝国已经向外扩展得太远了，”可汗心想，“到了该让它向内生长的时候了。”
“帝国正在被它自身的重量压垮。”
我望见远方有一座城市的塔尖高耸，那些纤细的尖顶似乎专门供旅行中的月亮轮流在上面休憩，或者在起重机的缆绳上摇摆游荡。
虽然悬在深渊之上，奥塔维亚居民的生活并不比其他城市的更令人不安，他们知道自己的网只能支撑这么多。
（如果你听到过对我的表扬，我很高兴，但我心里知道那是说出表扬别人的话的那位本身厉害，这世道没有多少能比和别人去赞扬一个小老师更高尚的事了；如果你听到过对我的批评，我表示理解，我并不会把那些严厉的话当成对我的诋毁，只是它们太高看我了，面对我平凡甚至有所欠缺的一面，就如每个人都有的一面，我不一定会尽量改掉。）
梅拉尼亚的人口生生不息：对话者一个个相继死去，而接替他们对话的人又一个个出生，分别扮演对话中的角色。
有时候，同一个人同时扮演两个或者更多角色：暴君、恩人、信使；有时候，同一个角色分别由两个或者成百上千的梅拉尼亚居民扮演：三千人演伪君子，三万人演寄生虫，十万人演流落街头等待机会恢复地位的王子。
忽必烈汗默默地沉思了一阵，然后又问：“你为什么总跟我讲石头？对我来说只有桥拱最重要。”波罗回答：“没有石头，就不会有桥拱了。”（我要提高成绩，为什么你总给我讲这些道理...）
六
“记忆中的形象，一旦被词语固定住，就给抹掉了。”波罗说。“也许，我不愿意全部讲述威尼斯，就怕一下子失去她。或者，在我讲述其他城市的时候，我已经在一点点失去她。”

我想：人到生命的某一时刻，他认识的人当中死去的会躲过活着的。这时，你会拒绝接受其他面孔和其他表情：你遇到的每张新面孔都会印着旧模子的痕迹，是你为他们各自配戴了相应的面具。（学弟学妹那，我会看到你们的影子。）（到了一定的年龄，不经意的某个件小事可能就是人生的高光时刻。）
记忆既不是短暂易散的云雾，也不是干爽的透明，而是烧焦的生灵在城市表面结成的痂，是渗透了不再流动的生命液体的海绵，是过去、现在与未来混合而成的果酱，把运动中的存在给钙化封存起来：这才是你旅行终点的发现。
七
从这面到那面，城市的各种形象在不断翻番，但是却没有厚度，只有正反两面：就像一张两面都有画的纸，两幅画既不能分开，也不能对看。
...整个城市就将被淹没在她始终力图摆脱的过去中，与邻近城市的周边混合在一起，终于彻底干净了。
八
在路过而不进城的人眼里，城市是一种模样；在困守于城里而不出来的人眼里，她又是另一种模样；人们初次抵达的时候，城市是一种模样，而永远离别的时候，她又是另一种模样。每个城市都有自己的名字；也许我已经用其他名字讲过伊莱那；也许我讲过的那些城市都只是伊莱那。
（好几个今年本科毕业的学生回学校来，大多数读研或直博了，一圈人的专业都和计算机有关。）（强基，竞赛、写作、面试...综合）（初二就给求师得供稿的许荣旭童鞋，高考文科642不算太高，但参与强基，被清华大学日新书院录取了。）
九
掌控故事的不是声音，而是耳朵。
（个体之于群体，就如细胞之于躯体，一切是遗传密码操控，而进步一定是不守规矩的那个引发的，进化和选择就是建立在错误的基础上。足够的精确意味着不变，比死亡还稳定的状态。）
（北京学习的yz很坚定地发消息回来，说读书很重要...多希望她能偶然看到这里。关于和她一起读书，有意义的部分自不用说，我感兴趣的部分不少是教育和文学，这应该是交集。而这里有所隐忧，倒不是读书会导致观念的多样化，而是读书的理想化状态，对于作为管理者的她不是都有用的，对于一个小老师的我还好，当然，还是很相信她的能动性的。）
即使在悲伤的莱萨城，也有一根看不见的线把一个生命与另一个生命连接起来，瞬间后又松开，然后又讲两个移动着的点拉紧，迅速勾画出新的图案，这样，这座不幸的城市每时每刻都包含着一个快乐的城市，而她自己却并未觉察到自身的存在。
但是我所见到的翅膀却只是那些互不信任的雨伞，伞下那些沉重的眼皮低垂着；相信自己能飞的人有之，但其实只不过是扇动着蝙蝠式的外衣，刚刚离开地面而已。
...人类凶残而多方面的才能战胜了敌人具有压倒性优势的生命力姿态。
贝莱尼切是不同的城市在不同的时间里交替延续，既公正又不公正。可是我想提醒你的是：贝莱尼切未来的所有城市此刻已经就存在着，有时是一个含着一个，贴得紧紧的，怎么也分不开。

可汗说：“如果最后的目的地只能是地狱城，那么和一切都没有用，在那个城市的底下，我们将被海潮卷进越来越紧的漩涡。”
波罗说：“生者的地狱是不会出现的；如果真有，那就是这里已经有的，是我们天天生活在其中的，是我们在一起集结而形成。免遭痛苦的办法有两种，对于许多人，第一种很容易：接受地狱，成为它的一部分，直至感觉不到它的存在（甚至竭力维护它）；第二种有风险，要求持久的警惕和学习：在地狱里寻找非地狱的人和物，学会辨别他们，使他们存在下去，赋予他们空间。”
（就教育而言，我们生活在一个应试的环境里，作为教育工作者，似乎不仅不能不接受，而且还是应试的一部分；但，但凡有一点理性尚存就不能不感受到刺痛，这提醒我们自己要警惕和谨慎，更要有勇气面前，面对自己。所以，我想到，求师得的意义或许就是我们几个教育理想尚存的一息，在这应试的环境里去寻找、发现和培养更基本的学习，给更多的一息留有尚存之地。）
·《看不见的城市》之插图[?]

·期末温习
我对于文学的前途是有信心的，因为我知道世界上存在着只有文学才能以其特殊的手段给予我们的感受。
城市就像一块海绵，吸汲着这些不断涌流的记忆的潮水，并且随之膨胀着。
你以为自己在享受整个阿纳斯塔西亚，其实你只不过是她的奴隶。
三千人演伪君子，三万人演寄生虫，十万人演流落街头等待机会恢复地位的王子。

The Character of Physical Low 《物理定律的本性》Richard P.Feynman 关洪译
引言
费曼在罕见的天才和非凡的风格这两方面都是很突出的。
最好把费曼的风格描写成对普遍承认的智慧的一种尊敬和失敬的混合物。
普朗克在1900年为了解决黑体辐射而提出的能量子概念，指的不是光而是发出辐射的腔体物质的振子的能量。光量子概念是爱因斯坦1905年提出的。
在加州理工学院，费曼不常做正式的讲课，甚至亦花不了不少时间来指导他的博士生。
我总记得他关于能量守恒同尝试用湿毛巾去擦干你的身体这个问题的卓越譬喻。
正如他能够不用系统的数学工具去做精细的数学问题一样，他也能够产生某些精细的哲学见解而不需要系统的哲学学说。他所讨厌的是形式而不是内容。
1引力定律---物理定律的一个例子
我更喜欢具体一些，并且我喜欢以一种纯正的而不是含糊的方式来理解。
更新近的东西，也许不一定是更现代的。现代科学是精确地按照引力定律发现的同一传统建立起来的。
引力定律被称为“人类头脑所能达到的最伟大的推广”，而你们已经从我的介绍里猜到，比起能够遵从像这条引力定律那样优美而简单的定律的奇妙的自然界来说，我对人类头脑并不是那么感性兴趣的。因此，我们主要集中讨论的不是我们有多么聪明去发现它，而是自然界有多么聪明去设置这样一条定律。
（古希腊的阿利斯塔克曾经提出过太阳系的日心说）这种早期做出的贡献在被人们长久遗忘之后，又由哥白尼独立发现。
第谷·布拉赫非常非常仔细地观察，把天空中出现的各个行星的位置精确地记录下来，然后就可以根据这些资料，把各种不同的理论一一区分开来了。这正是跨入现代科学的钥匙，它正是对自然界理解的真正开始---这就是观察事物、详细记录，并且希望如此得到的资料会成为检验这样或那样理论解释的吸纳所的概念。
有一些天使躲在各个行星的背后，拍打着他们的翅膀，就这样推动着那些行星沿着轨道运行...唯一的差别只在于那些天使处在一个不同的方向，而且他们的翅膀是向内侧扇动的。
加速度乘上一个物体的叫做质量的系数，即它的惯性系数。

牛顿实际上是第一个认识到在潮汐现象中发生了什么事的人。他认识到，在同一距离上，月球吸引地球和吸引海水的力是一样的，但同刚性的地球比起来，靠近月球的海水受到朝向月球的较强的吸引，而远离月球的海水受到朝向月球的较弱的吸引，因而这两种图像的结合就产生了一谈两次的潮汐。实际上地球也玩着同月球一样的把戏，它也环绕这一个圆周运动。月球作用于地球的力被平衡了，但是被什么东西平衡了？那是很由于正如月球沿着圆周运动来平衡所受到的地球的力一样，地球也沿着一个小的圆周在运行。这个小圆的圆心处在地球内部的某处。地球亦沿着这个圆周运行来平衡所受到的月球的力。地球和月球都环绕着一个共同的中心运行，使得地球所受到的力得以平衡；但在远离月球的海水受到月球的吸引较弱，而靠近月球的海水受到月球的吸引较强，就使得海水在两侧都鼓胀起来了。

地球怎么会是圆的，那时因为什么东西都被强拉进去；地球又怎么会不那么圆，那时因为它在自转，在外侧的部位就被甩出去一点了，而它则达到了平衡。
木星的几个卫星看起来有时候比根据牛顿定律计算出来的时刻早到8分钟，有时候则迟到8分钟。而且还注意到这些卫星比预期时刻遭到的时候，都发生在木星正朝向地球接近的进程中，而卫星比预期时刻要迟到的情况，都是木星正在远离地球之中。罗默先生（丹麦天文学家1644-1710）坚信万有引力定律，他得到一个有趣的结论：光从木星的卫星传到地球是需要一段时间的。当我们看到这些卫星的时候，看到的不是它们当时所处的位置，而是它们在光传到地球上这一段时间之前所在的位置...这是光并不是即时传播的物质的第一个证据。
当一个定律是正确的时候，它就能够被用来发现另一条定律。如果我们坚信一条定律，那么如若出现了一些看来时错误的东西的时候，正是向我们提示了另一种现象的存在。
如果我们不知道有什么引力定律，那么我们本来会经过比较长的时间才能够发现光的速度，因为那样我们那就不会知道从木星的卫星能够看出什么来。这一过程已经带来一场雪崩式发现，每一种新的发现都提供了做出更多的发现的手段，而这正是直到如今的400年内的一场大雪崩的连续过程的开端，而我们今天仍然以告诉继续着这场雪崩。
20世纪初期，又看出了水星的运行不是那么完全对的。这就引起了一大堆麻烦，一直未能得到解释，直到爱因斯坦证明，牛顿的诸定律有一点不对头...
我们生活在其中的世界真是一个奇妙的世界，在理解自然界上的种种新进展，只是用来延续那已经存在了2000年的胡言乱语。
这一实验时对我们所处的球体有多重或者有多大质量的第一次见解测量。发现这一点是一个惊人的成就，并且我想这就是卡文迪许把他的实验称为“称量地球的重量”，而不是“测定引力方程中的常数”的缘故。
真空中两个不同的物体也会以同样的方式下落到地面上，与其质量的大小无关。力精确地同质量成正比，以及对力的反应反比于质量这一事实，就会有这样非常有趣的结果。
牛顿在他的脑子里最关心的是太阳系，却能够预言在卡文迪许的一个实验里会得到什么结果；而卡文迪许的那个太阳系的小小模型，那个两个小球相互吸引的模型则延伸到一千亿倍，变成太阳系。再放大一千亿倍，我们再次得到一些彼此精确地按照同一定律相互吸引的许多星系。大自然只用了一些最长的丝线来编织她的花样，使得在她的织物上的每一片段都体现了整块锦缎的组织原则。

2数学同物理学的关系
不可能向那些对数学缺乏某种深入理解的人以大家都能够感受到的方式忠实地说明自然定律之美。我很抱歉，但看来只能如此。
有不少人掌握怎样对那些外行人使用外行的语言来说明这一类困难和深奥的问题的技巧，从而赢得了好教师或好作家的美誉。外行的读者一本一本书地翻阅，希望他能够避开那些复杂的数学，但那些东西总是避不开的，即使是专门讲解科学的最好作品也是如此。
面积变化率的变化率同力在与半径垂直的方向上的分量成正比...如果力在半径方向，那么在与半径垂直的方向上就没有力，这就意味着面积的变化率是不改变的。
在巴比伦的数学学校里，学生们通过做大量的例题，直到他们掌握普遍的规则来学习一些东西...但希腊的欧几里得发现，有一种方法，可以从特别简单的一组公理出发，导出几何学的所有定理。巴比伦数学家的看法，你知道了所有不同的数学定理和它们之间的许多联系，但你永远也不会完全认识到，这都是能够从一批公理推导出来的。
（巴比伦派数学家）我永远不十分肯定我应该从哪里开始，又应该在哪里结束。我只是时时刻刻都记得足够多的东西，以便在记忆消退或者其中一些部分失落之前，我每天都能够把那些东西重新拼接到一起。
在物理学里我们需要巴比伦人的方法，而不是欧几里得或者希腊人的方法。
如果一个物体坐落在空间中的一点，它所受的力方向沿着那个数变化得最剧烈的方向（我会给出它的通用名---势，力的方向沿着势变得最剧烈的方向。）
失去了质点感受到拉力并且由于受力而使运动发生变化那样的一种因果性。代替那种因果性的是，质点以某种广博的方式嗅到了所有曲线，所有的可能性，然后决定采取哪一条（选取我们的量最小的那一条？）。
所有关于自然界是怎样运作的种种哲学直觉都是不成功的。我们要做的只是算出所有的可能性，并且尝试所有的选择。
爱因斯坦认识到电信号不可能传播得比光更快。他猜想这条原理是普遍适用的，他还猜对引力也是适用的。如果信号的传播无论如何也不能比光速快，就会弄明白，把力描写成即时起作用的方法也是十分不妥的。因而，在爱因斯坦对引力理论的推广中，牛顿那种物理学描述的方法就变得完全过时和太过复杂了。与此同时，场的方法和最小值原理却显得简洁和单纯。
自然界的一种惊人特征是可能的解释性方案的多样性。这正是因为那些定律是如此特殊和精巧的和缘故...我总是发现那样一种奥秘，而我不明白为什么物理学里正确的定律看来总能够以这么多的各种各样的方式来表达。这些定律看来总是能够同时穿过几个入口似的。
物理学家总是对特殊情况感兴趣...
结果表明，最伟大的一些发现往往是从某种模型抽象出来的，而那模型本身却一点也不对头。麦克斯韦发现电动力学，起先是在空间中有一大堆空想的齿轮和惰轮的模型上做出来的。但当你抛弃了空间中的所有那些惰轮等东西，电磁理论仍然成立。狄拉克简单地通过猜出方程而发现了相对论性量子力学的正确定律。猜出方程的方法看来是比猜出新定律更加有效的方式。这一事实再次表明了数学是表达自然的一种深刻的方式，而想要把大自然用一些哲学原理来表达，或者用一些本能的机械式感觉来表达的任何尝试，都不是一种有效的方式。
“伟大的造物主看来是一位数学家。”
（无视教师的专业性，夸大了主观臆断而无视那不过是运气或暂时的平静。）
...像哲学家那样是讲不清楚的，因为那是不可能的。或许那是因为他们的见识局限在某些人想象人类是处在宇宙中心那种方式中的缘故吧。

3伟大的守恒定律
守恒的是电荷的总量，这是由法拉第通过实验发现的。
电荷具有一种非常重要的特征：它是电场和磁场的源。电荷是一个带电物体同电场的相互作用作用的量度。
能量的单位可以取卡路里、尔格、电子伏、尺磅、BTU、马力小时、千瓦时...
在现代物理学里，热力学温度的单位开尔文K乘以玻尔兹曼常数k，频率ν的单位乘以普朗克常数h，以及长度单位（费米是换一种长度单位）的倒数乘以适当的常数，都可以用来做能量的单位。
（飞米又称费米，符号fm，常用于描述原子级别的物质。1飞米相当于$10^{-15}$米。人们为了纪念著名的原子物理学家恩里科·费米）
牛顿关于质量是产生引力的源的解释，已经被修改为能量产生引力这一陈述。
4物理定律中的对称性
186000英里每秒...
如果一个人在运动而一个人在静止而两人依然测量到相同的速度，那么唯一可能的方式是他们对时间的感觉和他们对空间的感觉是不相同的。
当我用“现在”这个词来谈论每一件正在发生着的事，那是毫无意义的。
我们不能够对一段距离之外的“现在”的意义达成一致。
物理定律在尺度的变动下没有不变的这一事实，最早是由伽利略发现的...我设想伽利略自以为发现了自然定律在尺度变动时并不是不变的事实，如同他的运动定律一样重要，因为这两种定律都收入了他的《两门新科学的对话》里。
在生命体内所有分子都具有完全一样的螺纹这一事实，可能是在完全分子水平的基础上表现出来的生命的始祖的统一性的最深刻的演示。
5过去与未来的区分
不可逆性是由生命的一般偶然性引起的。
自然界表面上的不可逆性不必来自物理学定律的不可逆性；它来自这样的一种特征，如果你从一个有序的系统开始的话，而自然界具有的不规则性就会通过分子的碰撞反弹使得事情往一个方向演进。
熵总是在增加的另一种表达方式，能量的课利用性总是在减小。
单方向性总是同能量可利用性的损失联系在一起。（物理定律总可以多个角度来解释）
当我们谈论热时，有时候忘记了那些原子的无规则运动---正如当我们谈论冰河的时候并不总是想到六角形的冰晶以及起初飘落的雪花。
总是想把那些现象回溯到基本的层次，未必是有意义的。事实上我们也做不到，因为我们要升到的层次愈高我们就要经过愈多的中间步骤，而其中每一个步骤都把其中的联系减弱了一点。并且，我们还没有把那些步骤全部想清楚。
6概率和不确定性---对自然界的量子力学观点
在相对论里有这样的命题，如果你认为两个事件在同一时间发生，那不过是你自己的额看法而已，别的什么人则会判断那两个时间的一个是在另一个之前发生，因而同时性仅仅是一种主观的印象。
日常生活的经验都牵涉大数目的粒子，或者牵涉很缓慢地运动着的东西，或者受到其他一些特殊的条件的约束，并且事实上仅代表了关于自然界的局部经验。
我们的想象力伸展到了极度，那不是像在小说里那样想象一些现实中不存在的东西，而是去理解存在着的东西。
它们按照它们本身的一种无可比拟的方式运动着，在技术上可以把那种方式称为量子力学方式。它们的行为方式不像你们以前见过的任何东西。你们以前看到过的所有东西的经验是不完全的。
说的是美国每个家庭平均有两个半孩子。那并于意味着在任何一个家庭里有半个孩子，孩子都是一整个的。（量子化）
电子是非常娇嫩的。（所谓对心灵施加影响的很多的教育规律，或许也该考虑考虑量子行为）当你把光照到一颗电子上时，光使电子受到一下打击，另本来要做一件事的电子改做了另外的事，因为你用光照着它。

那意味着物理学已经以某种方式放弃了对状况知道得足够多就能够语言下面将会发生什么事的原则---如果物理学的本来面目是这样的话，而和原来没有人都认为是这样的。
一位哲学家有一次说过：“科学真正存在所必需的，是在同样的条件下总是产生同样的结果。”好吧，它们却不是这样。你设置好了环境状况，每一次都有相同的条件，而你并不能和预测在哪一个小孔的后面看到电子。可是科学照样向前发展，尽管相同的条件下不一定产生相同的结果。
事实上，科学真正存在所必需的，是在思想上不承认自然界必须满足我们的哲学家们所主张的那些先入为主的要求。

7寻找新定律
令人惊奇的是，宇宙间的所有物质都是相同的。已经知道组成各个恒星的物质是与地球上的物质相同的。由那些恒星发射的光的特征，给出了一种可供鉴别的指纹...看来生物和非生物都有相同种类的原子；青蛙和石头都是由同样的一些原料做成，知识它们排列的方式不同而已。因此就使得我们的问题简单一些：我们除了原子之外没有别的东西，到处都是一样的。
质子是1836，中子是1839...
使科学止步不前的方法之一，是只要做那些在你掌握了定律的领域内的实验。但实验家们为之孜孜不倦地努力奋斗的，恰恰是那些看来我们最有可能证明我们的理论是错误的研究。换句话说，我们正在尽可能快地证明我们自己错了，因为只有通过这种方式我们才能进步。
某甲怨恨他的妈妈，那理由当然是在他小时候没有得到她的足够呵护和关爱。但如果你仔细哦观察，你会发现那时候她确实十分爱他，一切都正常。原来，这正是因为当他还是一个小孩时，她过分溺爱他了！由一种含混的理论出发，有可能得到截然相反的两种结果。
麦克斯韦是通过自己发明一种在空间中有些惰轮和齿轮等的机械模型来做到这一点。他发现了新定律是什么样---但没有人理睬他，因为他们都不相信那些惰轮。我们今天也不相信那些惰轮，但他得到的方程却是正确的。因而，推导的逻辑可以是错误的，但答案却是正确的。
当理论中有非常微小的变动的时候，与这理论相联系的哲学或者观念也会发生极大的变化。（分形一样的逻辑）例如，牛顿关于空间和时间的观念同实验符合的很好，但为了得到水星轨道运动的那么一点点修正，理论的特征需要作出极大的变化。

玛雅人那时候已经能够以很高的精确度计算出天文学的预测...那都完全是由算术算出来的，他们算出某个数目，再减去某些数目等等...他们没有讨论过月亮是什么东西。他们甚至没有讨论过月亮在轨道上转圈的观念...他们只是算出发生日食和月食的时间以及什么时候会出现满月等等...假定有一名年轻人去到天文学家那里说，“我有一个想法。也许这些东西实在轨道上转圈的，在那里是好一些像石块那样的球体，并且我们可以算出它们怎么样以一种完全不同的方式运动，而不仅仅是算出它们什么时候出现在空中。”天文学家说，“是的，而你能够以多大的精确度来预测日食和月食呢？”他说，“我还没有把这个想法推进得很远。”然后天文学家说，“噢，我们能够计算出日食和月食，比你能够用你的模型得到的精确度高得多，因而你一定不要再取考虑你的那个想法了，会因为我们的数学方案明显要好得多。”（教育领域的新理念一定会面对传统的质问，你能提高多少分数呢？至少求师得数位学习推广的过程中，经常遇到高考加分吗的反问。）
就像美国的发现那样---你只能发现它一次。我们生活在其中的时代，是我们正在发现自然界的各种基本定律的时代，这样的美好日子是一去不复返的，它真是令人鼓舞啊，它是那么神奇而美妙。

译后记
The Character of Physical Law 可以翻译成“物理定律的特征”，可以翻译成“物理定律的特征”。
（活着多了一个理由，看喜欢的书~~~）
“人们把它叫做惯性，但谁也不知道为什么会这样。”
他很早就懂得了知道一件事物的名词同知道一件事物是两件不同的事。
“挑战和挫折，超人的才识和激情，以及从科学探求中获得的极大快乐，这正是他生活中幸福的源泉。”
费曼是惠勒的助手，后者对物理学很多方面的兴趣和敢想敢为的风格，日后给费曼以决定性的影响；惠勒后来也说道：“大学里招学生的理由是他们可以教那些教授，而费曼则是这些学生当中最杰出的一个。”（“大學里為什麼要有學生？”惠勒說，“那是因為老師有不懂的東西，​​需要學生來幫助解答。”）
到康奈尔前不久，费曼永别了爱妻，翌年秋天，他又失去了慈父...一天，费曼在校园咖啡厅吃饭的时候，看到一个孩子把印有康奈尔校徽的一个碟子旋转着扔到空中。费曼观察到，碟子以便旋转，一边摇晃；并且从校徽团的转动看出，碟子自转的频率差不多是摇晃的频率的两倍。这一现象顿时引起了他的兴趣，他马上动手用经典刚体力学的方程去解出这种运动。费曼从这个例子联想到电子的运动和它的自旋，重新燃起了对量子电动力学的热情。
（为了保持很好的学习节奏，我选择了上班，但代价是要抽空处理一些小事）
费曼曾经指出，学习物理学有五个方面的理由。简单说来：
一是为了学会怎样动手做测量和计算，以及在各方面的应用；
二是培养科学家，他们不仅致力于工业的发展，而且贡献于人类知识的进步；
三是认识自然界的美妙，感受世界的稳定性和实在性；
四是学习怎样由未知到已知、科学的求知方法；
五是通过尝试和纠错，学会一种有普遍意义的自由探索的创造精神。

·年末温习
不可能向那些对数学缺乏某种深入理解的人以大家都能够感受到的方式忠实地说明自然定律之美。（数学是认识自然现象的屏障，人与人之间存在很多的天堑沟壑。）
由一种含混的理论出发，有可能得到截然相反的两种结果。
“是的，而你能够以多大的精确度来预测日食和月食呢？”