图解微积分

二 28

图解微积分

教研|〖数理探究〗 qiusir 2025

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微积分预测未来变化的工具 [日]牛顿出版社编
速度=距离÷时间微分的思考方式；距离=速度×时间积分的思考方式
微分differential差别的，积分integral整体的；运算calculus拉丁语的小石头，过去人们是通过排列小石头来进行计算。

可以把函数想象为一个箱子，向其中输入一些东西，就会在箱子里进行某种计算，然后把结果吐出来。（只记得小时候老师花了很大的力气强调函数的重要性，但当时讲的什么是函数早没印象了）
极限思维是现代微积分的重点。（《无穷小》[?]）
求导的过程又称为微分 $y'=\lim_{x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

微分要点：微分就是求解“瞬间的变化程度”；微分就是求解“切线的斜率”；把函数微分就能得到导函数。

阿基米德把抛物线围成的面积分割成无数三角形求其面积和，用这样的穷竭法求得其面积。
牛顿发现了微分与积分其实是互逆的运算，把微分和积分统一为一门学问。
积分的要点：所谓积分就是求面积；积分有分割求积等方法；把函数积分可得原函数。

$\frac{dy}{dx}$ 这一符号整体是表示微分（导函数），而不是一个分数，读法也是"dydx"。先以differential（表示差的意思）来称呼微分的是莱布尼兹，dy和dx分别是y和x的微小增加量，所以d取的意思是differential的首字母。
$\int$ 读作integral，整体，瑞士的雅各布·伯努利最先开始用这个词指代积分，想出这个符号的莱布尼茨。

（圆周长 $\int_{0}^{2\pi } Rd\theta$ 圆面积 $\int_{0}^{R } 2\pi rdr$ 球表面积 $\int_{0}^{\pi } 2\pi Rsin\theta R d\theta$ 球体积 $\int_{0}^{R } 4\pi r^2dr$ ）
（应该推导一下球壳对球壳外万有引力等效于球心质点···
$\int_{0}^{\pi} \frac{Gm\rho 2\pi Rsin\theta Rd\theta}{r^2+R^2-2rRcos\theta } \frac{r-Rcos\theta}{\sqrt{r^2+R^2-2rRcos\theta} } d\theta$ ）
1665年牛顿发现了微积分的基本定理，还是剑桥大学22岁的学生，记过确实40年后1704你啊发布；莱布尼兹发布的更早。有生之年那嫌疑都未曾被清洗。
匈牙利科学家冯诺依曼说微积分是“现代数学取得的第一个成就，对其重要性无论怎样评价都不为过。”
（伽利略的学生托里拆利不只是测量了大气压，这位意大利的数学家提出了被曲线围成区域的面积的求法。）

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有人将阿基米德、牛顿和高斯并称世界三大数学家
Sir_Isaac_Newton_1689 时年46岁，为当时最有人气的肖像画家所做。
母亲希望牛顿停学务农，而且拒绝承担学费。（记得有书提到牛顿家的仆人觉得牛顿什么农活都干不好）
为了拿到奖学金参加资格考试，考官指出牛顿对于古希腊数学家欧几里得的知识掌握欠缺。牛顿只专心学习当时最先进的笛卡尔的理论。牛顿后来用于微积分发明（发现？）先关数学知识，便是从1664年前后阅读的书籍中积累起来的。可以说出了笛卡尔的《几何学》之外，英国的沃利斯《无穷算术》等作品也对牛顿的数学产生了极大影响。
牛顿的微积分原理、万有引力和光的理论，被称为“改变科学史的三大发现”。
牛顿正式开始数学研究1664年4月，仅仅数年，迅速超越了那个时期的数学水平，并独立创立了数学法则。（所以朗道单独把牛顿列为第0档）
牛顿执教超过30年，每周上一节课，课堂出席人数很少。
1727年，牛顿创立了calculus（微积分），也是因为calculus（结石）去世。享年84岁。

质疑固有观点，相信观测事实的“近代科学之父”伽利略
伽利略去世350年后的1992年，名誉才得以正式恢复。
笛卡尔和费马创立了坐标。坐标的引入将需要处理的现实世界中的现象变成了数学问题。
某天晚上，笛卡尔做了一个梦，在梦中他找到了科学的基础，解析几何学。

曲线的切线和运动物体的行进方向一致，由17世纪的法国数学家罗伯佛尔首先之初的。许多学者其实是把切线当作一个数学课题来进行研究的。
牛顿曾参考过费马找到的一种方法。
1664年，剑桥大学三年级学生牛顿开始阅读笛卡尔的著作。1665年产生了流数的思想，那一年22岁。

开普勒在第谷测得的大量火星数据的基础上，经过多次尝试并计算出火星的轨道。开普勒第二定律（面积定律）是早于第一定律（椭圆轨道）被创立。
以阿基米德为开端，积分方法在开普勒时代之后不断精炼，在伽利略的学生卡瓦列里和托里拆利的推动下，积分去的巨大成果。（卡瓦列里原理和中学学的祖暅原理）
亚里士多德提出，世界上一定由某种物质充满，否定了“真空”的存在。托里拆利完成了人类历史善跟第一次制造出真空。去世年仅39岁。
托里拆利小号 $\int_{1}^{\infty } \pi (\frac{1}{x})^2\theta=\pi$
牛顿在1665年发现了积分是微分的逆运算。
哈雷（格林威治天文台的第二任台长；世界上第一个保险统计表和三次科学航海）根据微积分计算出彗星会在何时到来。

在英国皇家学会不当调查3年后莱布尼茨在愤懑中离世。
莱布尼茨发明机械计算器。
作为外交官的莱布尼兹在巴黎解释了克里斯蒂安·惠更斯。
莱布尼茨创立柏林科学院，担任首任会长。
效力的公爵为参选国王而前往英国拒绝让莱布尼兹跟随。1716年离世，享年70岁。
“牛顿不能正确理解微积分，所以没有在《原理》中使用。”（那时的牛顿对充满了数学严谨性、美学优雅和直观特点的古希腊数学给予高度赞扬，并批判地继承了笛卡尔的思想···）

（？抽空要研究一下这图，书上说“原理认为行星的轨道是椭圆；重力与物体间距离平凡反比。”据说钱德拉塞卡有通俗解读）（阿基米德重心法计算抛物线围成的面积···）
牛顿自创“广义二项式”求解三角函数等复杂函数，扩大了积分的应用范围。
17世纪，笛卡尔、帕斯卡、费马、牛顿、莱布尼茨等创造性天才横空出世，天才的世纪。18世纪时英雄的世纪，伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等

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更多微积分的应用
（这是一本很理想的书。想来大学期间少有对知识的力量感，反而中学的时候对古诗词还有点意境的拓宽。
考上好大学目前看知识卷的能力和耐力，和科学的天赋和爱好无大的关系了。）
sinx cosx 微分4次后会变为原样。
e=2.17828···是雅各布·伯努利发现的。
（手把手教你用微积分）

（本书中用微分推导开普勒面积定律，有速度角标有问题。试着修订一下）

$2S_v=rvsin(\theta_v-\theta_r)$
$2S_v=vsin\theta_v rcos\theta_r-rsin\theta_r vcos\theta_v$
$2S_v=xv_y-yv_x$
根据“积的微分公式 $\frac{d(fg)}{dt}=g\frac{d(f)}{dt}+g\frac{d(g)}{dt}$
如果面积速度是一定的，那么关于时间的导数为零。
$0=xa_y-ya_x$
$\frac{a_x}{x}=\frac{a_y}{y}$ ， $\frac{a_x^2}{x^2}=\frac{a_y^2}{y^2}$ ，
$\frac{a}{r}=k$ 银河系行星不会离开太阳，所以力一定指向太阳方向，以太阳为基准点，行星的面积速度是一定的。（满足角动量守恒）
（发展部分等有能力又有热情的时候读吧）