“远山启可以用英语吟诵布莱克的诗，用德语评述《浮士德》的内容，用法语研究巴尔扎克，这是常人不能与之抗衡的。他晚年还学习了俄语，除了俄国文学哲学作品外，也会阅读俄语的数学专著。”
“数的世界类似于黑白电视机，量的世界则像彩色电视机。量的世界丰富多彩，有体积、长度等，但数的世界却要单调许多。彩色电视机能显示出丰富的色彩，黑白电视机则只能用黑白灰来呈现所有色彩。让学生先去理解彩色电视机般的量的世界，之后再转到黑白电视机般数的世界，这样会更好一些。”
前言
对于多数人来说，数学仅仅是作为考试及格的必要学科...
人类生活将会逐渐地走向集体化合社会化，数学的活跃时代也就来到了。
如果能把“到微分方程为止”这样的数学知识变成日本人的常识，这将是非常理想的。
“左邻右舍众多的人累积思考而成。”
为了学好数学，无论是谁都要具备的共识就是必须有毅力。远山启 1959年10月
1、数学的幼年期
一滴氯仿就把数学家带回到只能数到3的未开化人的状态去了。
与喜欢数学的柏拉图不一样，讨厌数学的苏格拉底说，“在数学家中，没有人能够做出认真的推论。”
看见数字就头痛的人，跟一坐车就晕车的人是一样的吧。
“数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念。”亚当斯密
罗素说，“要觉察到两天的2和两只雉鸡的2是同样的2，需要有无限长的岁月。”
南美洲玻利维亚的契基特族，只知道相当于1的数词“埃塔玛”，也可以运用到一个人，一支枪或一条狗，与不会语言的动物来比，已经是天壤之别了。
莱布尼茨认为，1象征神，0象征虚无，是神和虚无创造了整个宇宙。他把自己的空想写了下来，送给当时派遣到中国的传教士，并叫他交给中国的皇帝，劝中国皇帝改信仰为基督教。
二进制是人类发现手指是出色的计算器之前的产物...
在力学上把物体的质量和速度相乘叫做动量，他就仿照这个例子，把部队人数和移动速度相乘的结果作为部队的动量来计算。
仅凭螺壳的曲线在微分学里是精密的曲线，就说贝类懂得微分学，这个结论是错误的。
巴比伦王国的六十进制现在在时间和角度的测量上任然保留。
埃及在实现完整的十进制方面是先进的，巴比伦王国创立的是混杂着十进制的六十进制，因此我们得到一份不值得感谢的遗产，这就是时间和角度的六十进制。
节约数字的想法逐渐发展，发明了0，诞生出计算用的数字，成了今天人类的共同财富。
如果说是使用方便的草纸使埃及的数学停止发展，而不方便的黏土却给巴比伦数学的发展以很好的刺激，这可以说是历史的讽刺吧。
（远山启这样的人物在九州没有出现，相信是民众没有很好的选择吧，很多优秀的人物即便是露出尖来也会被...应该承受。）
2、离散量和连续量
有位老奶奶要给三个孙子分吃两个土豆，就把土豆做成了汤，分给三个孙子喝了。老奶奶是把分散量的土豆，变成了连续量的土豆汤，从而解决了难题。
可以说在直接比较不方便的地方，就有了间接比较的需要，又由于间接比较的需要，而产生了单位。
在德语中“进入分数”的真正意思是说“道理不明”。
全部无限循环小数都能化成分数。
也就是×和÷是具有产生新的物理量的运算。力学中的长度、时间和质量，就好像色彩中的三原色一样，把这3种量用×和÷组合起来，就可以导出全部的量。
数学这门学问就像高性能的喷气式飞机那样，一边在世界上飞行，一边又瞭望着世界。但这种飞行并不是无休止的，它必须经常地回到地面上来补给燃料，否则不能继续飞行。
3、数的反义词
数学相当于世界语的老前辈。
乘-1相当于数轴绕0点旋转了180°
几百年前所确定的乘法运算法则乃是为几百年后发现电荷作用力的法则奠定了基础。（
，+为斥力，—为引力。）
4、代数---灵活的算术
@qiusir:近几年读的书多是美国或日本的作者，也有部分欧洲的译作。读到好的书会把对作者的感激分一部分用来赞美译者，而遇到不好的翻译，会把自己外语不行的愤怒迁移过去。要是能方便买到台译本情况能好些...
在学习外语的过程中，半途而废的人不少，但对于代数则不然，也许就是因为其文法简单。
（鼓励学生和我一起读这本书，有些问题一起演算一遍。）
阿拉伯的数学家阿尔·花剌子米把移项叫做代数al-jabr，就是定义了代数学algebra的词源。
这样的矩阵叫向量。
数学家维尔斯特拉斯（坐在轮椅上上课）曾说，“没有诗人的某种气质就不能成为数学家。”
5、图形的科学
15世纪中期，古登堡制造了最早的活字印刷机。那是1455年的事，最早用这种印刷机印刷的书是圣经，大约三十年后，到了1482年，在意大利的威尼斯，欧几里得的《几何原本》用活字印刷出来了。代表希伯来宗教的圣经和代表希腊科学的《几何原本》是欧洲文化的两根巨大的支柱。
《几何原本》所具有的意义，并不在于都写了些“什么”，更重要的则是在于写了应“怎样”。
如果说圣经起源于光，那么《几何原本》则起源于点。
一般的作者总是从我们目睹的直线和圆开始讲起，但欧几里得在某些问题上却是从点开始讲起，《几何原本》的思考方法的秘密就是潜藏在这种奇特的作法之中。
据说，欧几里得对于当时提出“学习几何有什么用”这一问题的青年人答复说，“你大概喜欢一枚铜钱吧。”（怎么记得是柏拉图对身边的一个奴隶说过类似的话呢？）
传说毕达哥拉斯是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么就给他三块银币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
培根所说的分割自然也就是把困难分解的意思。
驴桥指的是脑筋坏的驴过不去的桥...
美度=秩序、复杂度
三角形框架结实的理由，就是它遵从了三边全等定理。若三个边不变，三角形永远是全等的，即不变形是有道理的。（很小的时候就听老师说过三角形的稳定性，但原因忘记了。）
林子平，日本江户时代后期著名政治学者。六无斋：无父母、无妻子、无孩子、无板木、无金钱、无寻死念头。（无父无母无妻无子无官无位仍无意躺平。7无之人）
日本小说家“我回顾一生时，觉得在中学所学的课程中，只有数学没有什么用。特别是代数和几何，一次也没用过。仅仅在走路时，所谓三角形的两边之和大于第三边的定理，才稍微有点用。”
6、圆的世界
但丁不仅仅喜欢数字而且也特别厚爱图形。圆不断出现在地狱和天堂里...然而，但丁把创造了希腊几何学的泰勒斯和欧几里得打入地狱，却没有感到一点不公平。
随着时间的推移，建筑格局从哥特式建筑转向巴罗克建筑形式，从而打破了圆的至上主义，椭圆以崭新的姿态开始出现在人们的面前。
最强烈反对使用直尺和圆规意外的新工具的人是柏拉图，他把尺规称为神圣的工具，把用除此之外的工具画出的任何曲线都鄙视为丑陋的东西。
圆周角不变定理。“圆心角是同弧所对应圆周角的二倍。”“由这个定理可以推导出，半个圆周（圆心角π）所对应的圆周角是直角（π/2）。”据说这个推论使但丁既吃惊又感到神秘。他在《神曲》的结尾部分这样写道：即使没有最初的运动，或者即使不知道，也可以在半圆内作出一个直角三角形来，真是神奇。
魔鬼不怕人，然而他们不得不在五角星面前投降，可见这个五角星的威力是多么大。
对于毕达哥拉斯宗教团体来说，数字5是健康的象征，五角星是宗教团体的徽章，毕达哥拉斯自己戴着黄金冠，上面镶着五角星。
自古以来人们就知道，正十二面体式是用12个正五角星围起来的立体。
“万物皆数”的毕达哥拉斯的徒弟们即使杀害了无理数的发现者，也不能把无理数的存在事实抹杀掉，因为人可以杀掉，真理是不能抹杀的。
毕达哥拉斯戴着冠以五角星的黄金冠站立在教堂的讲坛上，这里本身就包含着无理数的秘密。
7、复数-最后的乐章
德川时代的数学家对于方程有两个根不能接受，他们把这样的方程起名为“颠三倒四”，意思就是说这是“精神病方程”吧。
二次方程有时有两个根，有时一个根也没有，这个事实对于讨厌例外的数学家来说，是不能不想的。要是
存在的话，那就一切都如意了。这种无法摒弃的念头，在很长时间支配着数学家。
莱布尼兹很巧妙地用以下的话，替这样的数学家作了解释：“它是解析学的奇异，是观念世界里无法产生，而拖着尾巴徘徊在存在与非存在之间的东西，它就称之为虚数。”他还表示，“先天不足”也有用处，所以没有理由舍掉。
×(-1)是旋转180°，那×i就是旋转90°。
（矢量的运算满足的平行四边形定则，是不是可以说矢量的复数的本质呢？）
自然数的整体对于+来说叫做闭合，由于乘法也是自然数相乘，是加法的重复，也是闭合的。所以在只考虑+和×的时候，只要自然数就够用。可是考虑×的逆运算÷的时候，自然数就不再闭合。自然数的范围太窄了，要想自由地进行除法运算，就必须增加新的数，这就是分数。在自然数与分数结合起来的更宽广的范围内，+×÷就可以自由地进行。然而想到+的逆运算-，这个范围又窄了，要把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数，即有理数时，+-×÷四则运算就可以自由地无限制地进行，换句话说，有理数对于四则运算是闭合的。19世纪天才数学家伽罗华把对于四则运算闭合的数的集合叫做域，当然叫做域的除了有理数还有很多。有理数不具有连续性，所以仍然不能表示直线上的所有点，填满这些空缺就需要无理数。有理数和无理数合起来就是实数，就可以表示直线上的所有点。
总而言之，实数集合就是对于+-×÷闭合的一个域，同时还具有连续性。
8、数的魔术与科学
“不许吃豆”是毕达哥拉斯所创立的加团的清规戒律，另一方面，毕达哥拉斯又鼓吹灵魂是轮流回转的，让他变成鸡，命中注定要吃豆。（毕达哥拉斯还真是矛盾，就如带着蕴含无理数的五角星反对无理数一样，相信轮回又不吃豆，是不想被托生成鸡吧。）
哲学家赫拉克利特这样评价毕达哥拉斯，他读了大量的书，亲自创造出智慧、博识与妖术。
和“万物都是水”的泰勒斯、主张“万物都是火”的赫拉克利特不一样，毕达哥拉斯的哲学就是“万物都是数”。
4世纪的圣·奥古斯丁说过由于6是完全的数（6的约数1+2+3=6），神在6天创造了世界，8世纪的阿尔博因解释说，神在6天里用诺亚的洪水把创造好的世界淹没，那是留存的诺亚家族是8个人，可8的约数1+2+4=7，也就是8不是完全数，所以说以后得世界也就是不完全的世界。
就像天文学和占星术搅合在一起诞生，化学和炼金术纠缠在一起诞生一样，数的理论也是和数的魔术紧密结合在一起的。
素数是乘法世界中的原子。
在加法世界中，原子仅仅是1，但作为乘法世界的原子的素数来说却是2,3,5...
素数可以说是相当于化学家说的元素，可是对于化学家来说，幸亏只有102种元素，即使算上同位素也仍然是有限个。
第一次发现整数能分成素数的乘积时，数的知识就像一个人开始会走路那样成为科学了。
9、变化的语言---函数
从14世纪开始到15世纪，有了使闭关自守这道墙崩塌的条件，这就是商品开始出现于社会生活中。
伽利略反对那种认为“不变才是高贵、完全的科学”的说法。（如果人类不犯错误，如果天堂只是循规蹈矩，那也未必如人间纷繁了。）
“对于把形成不生不灭、不变化的宇宙的自然界物体看做非常高贵和完整，相反却把有生有灭、易变化的事物视作不完整，我甚感吃惊，并从理智上反对这种谬误。”
伽利略给以静止为高贵的人们进行了痛苦的洗礼。
“高度评价不消灭性、不变化性的人们，是因为想长生不老和害怕死亡，所以吹捧不消灭性、不变化性，然而他们没有想到要是人能够长生不死，就不能从天堂来到地上。为了让这些人更完善起见应该让他们去见识一下，把遇见的一切都变成珠宝钻石的孟德撒头像。”
把字母看做是变动的数即变数的人是笛卡尔。
按照莱布尼兹的说法，函数是变化和运动的“普通的语言”。
把图形翻译成公式，或者相反也可把公式翻译成图形，后者是笛卡尔的天才发现。
（旦德林球，朱茂鑫同学可以完成一个视频讲解。）
10、无穷的算术---极限
雅各布·伯努利
无穷级数啊，即便想把你看作是无穷的东西，
你却仍是有限之和，在界限前面躬下了身躯，
在贪婪的万物之中，印下无穷之神的身影，
虽然身受限制，却又无穷增加，
我多么欣喜，在无法度量的细物之中，
在那微小又微小之中，我看到了无穷之神。
（无穷碰撞的有限时间的计算题，让我感受到无穷之神...）
11、伸缩与旋转
阿基米德曾打算数一数整个宇宙中的沙子的数目。
“无限”在某种程度上，大有宗教的色彩。但是西方的阿基米德却为数清宇宙之沙做出了贡献。这种雄心壮志乃是创造出欧洲科学的动力。
丹尼尔·伯努利：人们的精神财富与物质财富的对数成正比。
按照伯努利的说法，从财产为10日元增加到20万日元的高兴心情，和从100万日元增到200万日元时的高兴心情是一样的。（财富从10万到100万的感受和100万到1000万的感受一样。）
类似的情况还有心理学法则，所谓韦伯定律，即感受的强度与刺激的强度的对数成正比。
发现对数的人是英国贵族纳皮尔和瑞士学者别尔基。由于对数可将×÷变成＋－，给计算带来了方便。当时的天文学家开普勒高兴地说过，“托对数的福，天文学家的寿命延长了一倍。”
如果复利无限地增加，这个数值不会无限增大。e=2.71...
（在读书的年龄没有遇到好书，就像长身体的时候营养不良一样。有的人一生都是营养不良，可怜呢还是可悲呢。）
角度方向按国际规定，向左旋，即逆时针方向为正，与在运动场上沿跑到的回转方向相同。
12、分析的方法---微分
1609年的秋天，意大利帕多瓦大学教授伽利略用自己制作的30倍望远镜观察了月亮...“月球表面并不是那么光滑平整的，而是同地球一样有着高山和深谷，并有断层的构造。”
访问过晚年的伽利略的英国诗人弥尔顿写道，“从那里---拨开云雾和闪烁的群星---他看到了另一个光辉星球的土地，山顶上松柏长青的神仙的乐园，就像是伽利略用望远镜上所看到的那种想象的土地。”《失乐园》
望远镜打开了无限大的世界的大门，而稍后出现的显微镜，则开辟了观察无限小的世界之路。
帕斯卡对无限大和无限小的这两个无限作了说明：
“这就是大自然安排在这些事情当中的值得惊叹的关系。这种关系是大自然为了让人们赞叹而不是去想象所提出来的两个无限。最后还要指出，为了结束这个考察，我可以说这两个无限不同于一般的无限，它们附加有这样一层关系，即对一方的认识必然会导致对另一方的认识。例如拿数来说，从能够使数不断增加这一事实能够无条件地导致使数不断减小...”
生物学家或者物理学家使用的显微镜是用玻璃制作的，而数学家所用的则不是物质的显微镜，而是思考的显微镜。
如果不考虑加速度的话，牛顿力学的根基也就崩溃了。对牛顿来说，不论速度或加速度，认为都是客观存在的。由此说来把创建微积分的牛顿与其叫做数学家，不如叫物理学家。
最早指出自然界中到处都潜藏着最大最小问题的人，大概是费马。
13、综合的方法---积分
“有去无回的方法是无用的方法。”西洋谚语
“如果说我与笛卡尔相比，比他看的更远的话，那是因为我站在巨人的肩上。”
毕加索，“对我来说，在艺术中部分过去和未来，毫无疑问现在已经过世的人的作品依然作为艺术作品而留存。希腊人的艺术、埃及人的艺术以及其他时代的伟大画家的艺术，它们都不是过去的艺术。恐怕在今天和今后也还是会作为艺术的精华而永放光彩。”
伽利略，“由静止状态开始以相同的加速度运动的物体，其所通过的距离与按一种平均速度运动的物体所通过的距离相等。此平均速度等于加速运动开始前的速度与最大速度的平均值。”
似乎一个人兼备着辉煌的天才和坚强的毅力是不大可能得。然而也有例外的情况，开普勒就是一个典型。
作为同时代人的伽利略，不论从哪种观点来看，都是一位近代名人，但比较来说，开普勒则是一位信仰宗教的近代科学先驱者。
开普勒定律是经过长期地观察行星的运动之后才得出的。因为欲知轨道是否为椭圆，起码也得观察绕太阳运动一周才行。然而万有引力定律则不然，因为他表示关于加速度和瞬时作用力之间的关系，所以不需要长期地观察行星的运动。
爱因斯坦把在有限的时间或空间内成立的定律叫做积分定律，把在瞬间火无限小空间内成立的定律叫做微分定律。因此，开普勒的定律是积分定律，而牛顿的万有引力定律是微分定律。
拉普拉斯，“我们应当把宇宙的现在状态看作是过去状态的结果和未来状态的原因。假如我们具有能够知道在任一瞬间，使自然界运动的一切的力和构成自然界的物体的相互位置的这种智能---为了分析那些资料而需具备的巨大的智能的话，就可以用一个统一式子把巨大的天体运动和微小的原子运动都包括进去。这样，不确凿的事物立刻就会呈现出其过去、现在和未来的统一面目。”这种巨大的智能就是俗话所说的“拉普拉斯的魔法”，即打算把宇宙间所有物体的运动都用一个统一的微分方程来描述，从中能够得知任何一时刻它们的状态。
后记（远山启 1960年9月）
爱好数学的属于理科，讨厌数学的归为文科。这正如使用石蕊试纸来检验酸或碱，会明显地呈现红色或蓝色一样。
（有些知识会了，还继续加热，像是水沸腾了仍加火，只能加速干枯焦化。）
数学本来是一门朴实的学问，之所以变成艰涩费解的样子，只不过是在入学考试这块面镜中的歪曲反映而已。（学习本来样子可爱，但是经过应试的哈哈镜被扭曲了...）
[?]远山启：用数学照亮人性与自由
（这本书推荐给了几个学生，希望有人和我一起读，有些数学物理计算需要再返工。）
On this day..
- 月亮与六便士 - 2024
- 小川秀树及其成长环境 - 2019
- Golden Section&Butterfly - 2008
