十一 01

数学的故事

拾慧|〖寻章摘句〗 qiusir 2022

math

THE STORY OF MATHEMATICS Richard Mankiewicz
编者序
数学，上帝写给人类的世界说明书
当三万五千年前，人类在狒狒的烤腓上刻下29个v字符号。（数字记录的最早物证，是在南部非洲斯威士兰王国出图的）谁也没想到，疯狂原始人的一顿盛宴过后，是人类数学的壮丽开端。
数学家们，正如400多年前与宗教法庭辩驳的开普勒所证明的地球---他们是“星空中敏捷的流浪者”，能够用来形容他们的词汇，唯有“永恒”。
对运动的数学的研究导致微积分的发明和数学分析的发展。
我一生中的大部分时间，都在努力打破我们这个时代普遍存在的一种思维模式---“数学=学校”。
联合国教科文组织宣告2000年为数学年。
一种新的审美观
知识的火焰从没有熄灭过，但在特定时期，特定文明比其他文明更加耀眼。
一、数学元年
幼发拉底河和底格里斯河间的美索不达米亚...
巴比伦人在毕达哥拉斯出生的1000年前，就广泛使用了毕达哥拉斯定理。
二、天空守望者
正是埃及人首先把一天分成二四个单位，虽然我们不清楚在何时小时成为固定的时间单位。
巴比伦立法是纯阴历的，每个月的第一天始于蛾眉月始见之时。
分析太阳和月亮的运动，其目的是为了确定每月的第一天。
在希腊，阿利斯塔克（公元前300）提出了以太阳为中心的体系。
亚里士多德认为行星是以恒速沿圆形轨道完美地运行。
宇宙学已经离亚里士多德的尽善尽美如此之远，我们可能会惊讶，为什么他的哲学约束没有被完全摒弃。但是，地球绕着太阳运转与当时对地球力学的理解相矛盾：人们仍然相信我们会从运动着的地球表面飞出去。
三、毕达哥拉斯定理
几乎可以确定毕达哥拉斯和释迦牟尼、孔子、老子等人是同一时代的人物。
毕达哥拉斯学派的一个关键的学说认为万物是数。没有数，任何事物都是无法想象和不可能的。他们最膜拜的是10=1+2+3+4，1是无（0）维点，是其他维空间的生成元，2个点可以生成一维（1）空间的直线，3个点两两相连生成二维空间（2）的三角形，而4个点两两相连可以生成三维空间（3）的四面体。
发现无理数的毕达哥拉斯学派成员希帕索斯被其他成员扔到海里，因为他破坏了毕达哥拉斯学派的信条...直到两千年后，人们才使用有理数来定义无理数。
毕达哥拉斯数学宇宙观的魅力永存。
四、几何原本
希腊最早的数学家可能是米利都的泰勒斯。
希腊数学中最重要的文献，无疑是欧几里得（约公元前300）写的《几何原本》
阿波罗尼奥斯最著名的著作是关于几何的开创性研究---《圆锥曲线》...
五、算经
公元前8世纪前后，在一本印度著作的翻译本中出现了用点表示数字0...
六、数学经典
印度-阿拉伯数字
印度《阿耶波提亚》中给出π的数值3.1416，这是以后1000年最精确的值。
婆什迦罗提出的一些概念被用于发展微积分学，他的手稿到19世纪仍在出版。婆什迦罗定义了一个无穷小的测量单位...
七、智慧宫
在巴格达寻求建立一个新的亚历山大城。在这一新的亚历山大城中创建了天文台、图书馆和称为智慧宫的研究中心。为了把当时所有能够收集到的文献都翻译成阿拉伯语，他们实施了一项巨大的翻译工程。
虽然代数符号来自欧洲，但代数的思想却归功于阿拉伯数学。
花剌子米是阿拉伯最重要的一位数学家，他是新创办的智慧宫的主要领导人。
伊斯兰教的宗教法规的精确性，客观上促进了数学的发展。伊斯兰的历法基于塑望月...

我不能全身心地投入代数的学习中。因为在这一动荡不安的时代中有许多障碍阻碍我。一个原因是，除了少数人以外，大多数人都丧失了获取知识的权利。如果是在太平的年代，这些人就会抓住一切机会投身于科学研究中去...另一个原因是，很多人混淆是非，把自己装扮成哲学家的样子。他们只会装作博学进行欺骗，并利用科学来满足自己一己私欲。如果有谁在寻求真理，努力揭露伪善和谎言扥一切虚伪的东西时，他们就会嘲笑、愚弄这个人。
欧玛尔·海亚姆(波斯诗人、天文学家、数学家，约1070年)

八、文科七艺
公元529年，身为基督徒的东罗马帝国皇帝，查封了异教徒的哲学团体，其中包括雅典学园。持续了1000年的希腊数学从此结束。许多学者迁移到科学土壤更肥沃的波斯帝国。
这一时期，君士坦丁堡是走形式兴旺的伊斯兰帝国的一个地区，而巴格达是闻名于世的科学中心。
虽然方式不同，但柏拉图和亚里士多德都与基督教义紧密相关。因此，对希腊科学和哲学的重新评定，在某种程度上被认为是对教会尊严的的攻击。亚里士多德在很多科学领域著书立说，不幸的是，尽管他强调观察的重要性，但是他的很多理论和客观现实相矛盾。与之相反，柏拉图关于科学的著作比较少，而且通常轻视实践，但是他强调数学在描述宇宙的重要性。亚里士多德认为数学附属于物理学。
阿拉伯人在11世纪就已经研制出了透镜。
罗格·培根写道“如果我有超过亚里士多德的力量，我会把他的著作全部烧掉。”他认为这些著作过度依赖哲学教条而不是基于实验观察，从而阻碍了科学的进步。与当时的其他知识分子一样，这一思想使得罗格·培根入狱。
在科学领域里，我们应该寻求符合事实的最简解。
九、文艺复兴
新一代欧洲人对古典文化的研究，不仅仅是为了复古，而是希望把这一研究与新体系、新思想和新研究方向结合起来。艺术和几何学的结合，特别是透视法的使用，充分体现了这一点。

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柏拉图宇宙的象征，正十二面体。
丟勒：没有几何知识，任何人都不可能成为真正的艺术家。这些人的错误应该归罪他们的老师，这些人自身对绘画这一艺术一无所知。
十、数学的大众化
由于当时对古代教科书的过度盲从及对教会尊严的维护，这一狭隘的数学需求限制了数学的发展。mathematicus既表示数学家，同事也表示占星家。开普勒曾抱怨，他计算占星图所得的报酬远比他从事天文研究赚的钱多。（但成就开普勒的并不是赚钱多的占星术。）
Robert Recorde the castle of knowledge
无知站在不稳定的球体之上，而知识站在坚实的基石之上。（如果我有孩子，TA一定是要去了“邱”的双耳刀以“丘”姓，即便是小丘，也不要去道听途说，）
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十一、代数和几何的联姻
+-的符号来自德国，=来自英国...
十二、循规蹈矩的宇宙
哥白尼带来了一场革命，但是在这场革命中，哥白尼似乎扮演着一个不情愿的角色。
马丁·路德坚决反对哥白尼的观点，而梵蒂冈却支持哥白尼的推测，直到该书发表八十年后的反改革运动为止。
沉默寡言的哥白尼点燃了一条缓慢燃烧的导火索，而最终引发了一场大爆炸。
我的目的是证明天体这一机器不是一种神圣的具有生命力的机器，而是一种具有机械结构的机器。几乎所有的运动都是由一种简单的磁的自然力量所引起的。正如时钟的运动是由单个钟锤引起的一样。我还要给出引起这些物理现象的算术表达和几何表达。
开普勒 1605年
第谷有他自己的行星理论，不仅拒绝发表，而且还把这一理论的大部分隐瞒了起来。
火星轨道的难点在于火星的椭圆轨道长短轴的比最大。
开普勒还奋不顾身地几乎完成磁极相互吸引的引力模型。把潮汐的形成归因于月亮的引力，而且认识到正是由于同样的引力作用，海水不能脱离地球飘洒到空中。开普勒虽然意识到光的强度满足平凡反比定律，但是他没有导出“反平方律”。
他未能揭示为什么这些轨道确实是椭圆形的，但是现在，看不见的天使和冷冰冰的推动者上帝被赶出了天文学。
尽管开普勒和伽利略是同一时代的人，但是他们似乎从没有见过面。1579年开普勒把他的《宇宙奥秘》寄给了伽利略，那时伽利略对于公开支持哥白尼的观点表示不安。伽利略对开普勒的态度，说好听的是不友好，说不好听的是充满了恶意。他假装对开普勒友好，但同时他拒绝送给开普勒一幅望远镜和自己的著作。伽利略宁愿讨好那些资助人也不愿意讨好他的科学同人。
虽然伽利略曾得到了财富和声望，但是，由于他的傲慢和自我吹捧，当他是去支持者时，他在科学界的朋友也寥寥无几。在1616年，伽利略曾发誓再任何情况下绝不讨论哥白尼体系。但是到了1632年，他却公开违反了这一誓言，发表了《关于两大世界体系的对话》...伽利略立刻被传唤到了罗马，次年他放弃了这一观点，并被软禁起来。在这之后，他继续过着相当舒适的生活，接待过不少来访者。（比如弥尔顿）
对于哥白尼体系的镇压不是由于无知，而是为了教会自身的利益。
伽利略受审后，天主教耶稣会把哥白尼的体系传给了中国和日本这样遥远国家的人们，并给这些人以这一体系具有语言能力的印象。
“它是换一个最渺小的星体，是星空中敏捷的流浪者。”
伽利略关于加速度和地球力学开创性工作，似乎对天体力学无能为力。
牛顿本人也对为什么这一强大的力不通过任何媒介就能作用于很远得物体上这一事实感到困惑。他不相信力会在真空中传播，而认为这中间存在着物质“以太”。
如果引力是普遍存在，那么所有的物质将逐渐互相吸引，整个宇宙将崩溃。即使是牛顿，也把神作为抵御世界末日的保护者。
十三、运动中的数学
伽利略确信促进你在无穷，他引用了把圆看成边数为无穷多的正多边形的例子。
牛顿出生在1642年圣诞节那一天，也是伽利略逝世的日子。
牛顿直到胡克去世后才发表他的《光学》
对牛顿来说，这种趋近于零的量的最终比本身也是一个量。
1726年，在莱布尼茨死后，牛顿从《原理》的第三版中删去了对莱布尼茨的所有引文。
直到19世纪初期，英国人仍对牛顿的流数术念念不忘，但是在欧洲大陆，微积分发展成为令人难以置信的强有力的工具，并采用莱布尼茨的语言。
幸运的是，历史将同时铭记这两位伟人。
十四、海洋和星星
我们不清楚人类是何时发现地球是球形的。
十五、五次方程
伽罗瓦“我没有时间了”...我绝不会向任何人说，我的著作中任何一点有价值的东西要归功于他的建议或鼓励。我不这么说，因为如果我这样说了，那我就是在说谎。假如我要向世界伟人或科学伟人致辞的话，也不会含有任何谢意。
“一个才智过人的考生由于弱智的主考官而落榜，因为他们不理解我，我是一个野蛮人。”
十六、新几何学
F.鲍耶（匈牙利乡村的数学教师，致力于证明第五公设）写给儿子的信：你千万不要去碰第五公设问题。我知道这将带来什么后果。我曾经历过这一无底的黑暗。它熄灭了我一生的所有光明和乐趣。
我恳求你看在上帝的面上，放弃这一研究，不要逞一时之快，它会浪费你的时间，夺取你的健康、你内心的平静和你的幸福。
J.鲍耶写给父亲的信：...对于你的失败我感到非常同情。与之相比，我以前寄给你的那些结果，都是微不足道的。
十七、代数语言
英国的数学分析之后于欧洲其他国家，大部分是由于英国人忠于牛顿的流数的符号体系，而这一符号体系比不上莱布尼茨的符号体系...（罗素也提到牛顿阻碍了英国数学一百年，崇拜权威，即便是牛顿这样的大牛也是有危害的。）
完全不知名的乡村中学教师乔治·布尔...
（当我们把吃饱饭当成十几亿人口的第一目标，就如我们的学校把提高分数当成我们教育的第一任务一样...）
十八、场
十三个孩子的父亲，欧拉的一些最重要的发现是抱着孩子及在孩子的喧哗声中得来的。
十九、追踪无穷
康托尔证明了戴德金的猜想：由任意线段中的点所组成的集合的势相同。因此，单位线段与整个数轴具有相同个数的点。更加令人惊奇的是，康托尔发现的这一结果与维数无关。单位线段与单位正方形或单位立方体都具有相同个数的点。实质上单位线段与整个三维空间具有相同个数的点。康托尔本人还说，“我发现了这一结果，但我不相信它。”
二十、骰子与基因
我很少见过像“误差频率”法则所描绘的宇宙秩序的美妙形态能如此激发人的想象力的东西。如果希腊人知道这一法则的话，他们将会把这一法则人格化、神话。无论在多么混乱的状态下，它都保持平稳和安定。群体越大，表面上的混乱越严重，它的趋势越完美。他是无理性的无上法则。
二十一、战争博弈
二十二、数学与现代艺术
只有油画家杜尚等少数几个人曾说服画家们学习数学和科学。
作为纯数学理论的新兴多维几何学及非欧几何学不仅用于新兴物理学，而且给艺术及寻求推翻已有的思维模式的哲学运动以启迪。
放弃欧氏几何学，作为典范意味着为生命、宇宙和万物创造了一个新的透视法。
二十三、计算机代码
由于算盘的使用在欧洲衰退，同时随着计算量变得越来越大，对于机械计算器的需求也越来越强。
计算机的发展是在实际需要的背景下产生的，无论是在商业、行政部门、密码学还是在数学物理中的方程求解中，都存在着这样的需求。
二十四、混沌与复杂性
混沌理论似乎给出了一个相当令人沮丧的宇宙观，它认为宇宙是一个不稳定的系统，并且在热力学第二定律的作用下，整个宇宙注定要消散。然而整个宇宙充满了结构。从脉冲星有节奏的脉动到DNA分子优美的双螺旋结构，熵的前进方向看来将会逆转，至少从局部上看---香水又回到瓶子里去了。
软件不依赖于硬件，不管这一硬件是计算机还是大脑。
牛顿机械论已经终结，取而代之的是具有相互关联复杂性的进化模型。同生命一样，数学仍然是不可预测的。
曼德尔勃罗特 1977
我认为许多自然界的模式与欧几里得几何学相比非常不规则，而且是支离破碎的。自然界不仅展现出更高的度，而且展现出完全不同级别的复杂性。实际上，所有自然模式的长度的各种标度的个数是无穷的。这些模式的存在促使我们去学习研究被欧几里得看成是无定形而被抛弃到一旁的那些形式，去研究这些无定形的形态学。然而，以前的数学家对这一挑战不屑一顾。他们把理论设计成与我们看到的或感觉到雨自然界无关的东西，从而逃避自然界...

On this day..

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