十一 11

让天才儿童创造数学享受数学

培英|〖悟人子弟〗 qiusir 2004

编者按:浏览求师得教育实验室网站存照发现此文，当时的发布信息是2004年11月1日...

于长征

让天才儿童创造数学享受数学—谈中学超常教育实验班的数学教学
中国·沈阳·东北育才学校 于长征

随着人类社会的发展，数学的理论和方法已经越来越成为现代社会人们的思维方式和一种文化素养。数学越来越成为一种技术和一种艺术。数学地解决问题，"数字化生存"越来越成为人们的必需。在某种意义上可以说，不创造数学便不能发展世界，不享受数学，便不可能真正享受人生。面对如此挑战，以培养成功的现代人，造就出色的未来人为目标的超常教育（天才儿童教育）该如何实施自己的数学教育，该如何进行数学教学呢？我在自己十几年的超常教育实验班的数学教学实践中逐步体会到：数学与心灵相沟通，数学与美学相融合，数学与非数学相补充，才能带领天才儿童感悟数学，走进数学，创造数学，享受数学。

一．"意识流"--生机盎然的教学方法
智力超常儿童的思维特点与同龄的常态儿童相比有很多不同之处：
一是更具流动性。他们的思维往往无拘无束，随心所欲，没有条条，没有框框。一旦受阻，也会立即转向，绕道而行。他们特别善于在动态中思考问题，善于思考动态性的问题。
二是更具奇异性。他们求奇、求异、不附众议，不落俗套。他们特别愿意提出那些与众不同的想法，甚至突发奇想。
三是更具跨越性。他们的思维往往不受时间和空间的限制，不受教材和讲课内容的限制而做大跨度的辐射迁移。他们提出的问题往往远离当前所学的内容，他们甚至会"浓缩"思维过程，凭灵感和直觉去感受某些未知的领域。
四是更具超前性。他们常常在老师讲解某一问题时想到了更进一步的问题或更高一层次的问题。他们的这种超前性，也可以说是一种"破坏性"，老师精心设计的方案，课堂教学程序有时被他们打乱。而他们则常以打破旧的平衡，制造新的不平衡为满足。
以上是笔者在多年的超常教育实验班的教学实践中深切感受到的。当然，这也与笔者多年来采取的教学策略有关：鼓励学生提出问题，提不同的见解，可以不按老师的要求去思考问题，可以打断老师的讲课，甚至可以使老师"难堪"或"措手不及"。结果，学生向老师暴露出了他们思维品质的可贵之处，也向老师提出了新的课题：为了适应超常儿童的这些年龄上的、心理上的、思维上的特点，必须采用一系列不同于传统教育也不同于普通教育的教学方法，以使超常儿童的思维品质更加优化，更富创造性。实践证明，"意识流"教学法不失为一种好方法。
"意识流"是近代文学创作上的一个名词，这里借用来是为了说明一种课堂教学结构和教学性态的。"意识流"教学法的基本涵义是：在教师的"宏观调控"下，为学生提供一定的思维空间和思维时间，任学生的思维驰聘奔流。在思维的非严格定向"流动"中，由学生主动提出问题，探讨解决问题的方法，得出问题的规律和结论。在这里，教师处在"宏观调控"的位置上，仍发挥着主导的作用。但是，这里的"导"，已不仅仅是引导发现，诱导思路，推导过程，辅导质疑。他要对学生思维的激活，"思维流"的形成起到引发，转化和推波助澜的作用。他要适时地把学生被激活的思维"调谐"到成功的思维活动的"频率"上，以大幅度地提高课堂教学效率。在这里，学生的主体作用已被大大强化，完全处在主动地位。问题由他们提出，内容由他们确定，方法由他们探索，规律由他们发现，结论由他们得出。他们最大限度地决定着一堂课的进程和成败。这里的"流"意味着一堂课并无事先严格确定的内容、方法、程序、结构，全凭当堂学生思维发展变化而定。在教师的"宏观调控"下，学生想到什么问题就研究什么问题，想研究多少就研究多少，想研究到什么程度就研究到什么程度。

先看几个课例：
课例一，教师提出了一个关于"不等"的问题，学生感到有些不严密。于是引出关于"大于"，"小于"的严格定义及它们的几何解释。进一步研究，发现了一些不等式的性质。为了证明其中某条性质，又引出对另外的性质的猜想和证明。这样，关于不等式的概念和性质系统，在教师的适时点拨下，完全由学生自己逐步建立和完善起来。
课例二，由两个三角函数值比较大小的问题引发了对三角函数增减性的研究。在研究过程中，学生发现借助圆和有向线段更方便。于是单位圆，三角函数线的概念呼之而出。等三角函数线的概念建立之后学生又发现它的作用不仅仅是形象地表现出三角函数的增域性，原来还有更丰富多彩的妙用！
课例三，众多的三角公式的推导和得出，完全打破教材的顺序和结构，由每个学生自己选择依据、方式、途径、顺序，根据自己的思维流向"随心所欲"地推导，越多越好。然后，再把较好的方案推荐给全班。事实上学生推出的很多公式是没有多大价值的，但作为创造性思维训练的载体，却发挥了很大作用。
课例四，为了解决一个三角函数的求值问题，引导学生去探索一组积化和差公式。再利用这组公式求值时，有学生发现了一类三角函数求和的规律，接着有人提出求积也有类似规律。于是，师生共同推导这种规律的一般性。当有人提到这种规律的几何形象后，教师趁势介绍了这种规律的复数解释，让学生体验了一回进行科学探索的复杂曲折又令人兴奋的经历。
课例五，研究完定比分点问题之后，有人意外地把思维跨越到数列问题。指出了定比分点坐标公式和数列通项公式之间的内在联系。教师和学生共同进行分析，肯定了这位同学的发现，并因势利导，又把问题前伸到立体几何的面积、体积问题，后延到排列组合中的组合数公式问题。几个看似毫不相干的问题，被努力联系在一起，成为一个丰富多彩的系统，学生思维的流畅性在这个系统中得到充分发挥。
课例六，三角应用题中的测量问题。在老师的引导下，学生渐渐离开了课本上的例题，不断为测量没置新的障碍和困难（如被测目标不可到达，不可穿过，在一定范围内不能接近，船速的变化，意外情况的发生等等）。自己设计测量方案，利用已掌握的知识加以解决。学生不仅在课堂上感到了数学的存在，而且产生了强烈的"需要数学"和"用数学"的意识。

"意识流"教学法的课究竟怎么个上法呢？笔者在实践中体会到不妨采取如下的方式：
1、上课伊始，便将学生引上主动地位，由他们决定一堂课的内容。教师不妨这样发问：上节课我们研究了某某问题，你认为下面应该研究什么问题呢？为什么？如果学生的意见离题太远，教师的"调控"即发挥作用。如果学生的意见出现分歧，那么他们的争论过程正好是他们数学智慧的展示和训练过程。在正课开始前，"意识流"已形成。
2、当正题的研究开始后，学生的意识往往受阻。已有的数学信息已无力解决新问题。此时教师可适时地提出：为了研究解决这个问题，还须探索有些结论？启发引导学生去建立新概念，发现新定理，论证新公式等。有时，甚至需要重新去编织、建立一个新的逻辑系统、演绎系统、概念系统或它们的子系统。这种新系统可能不完全同于或完全不同于教材的原有系统，甚至有一些不严密之处，但它却是学生经过努力亲自获得的，是学生数学智慧的结晶，学生在自己的数学王国里畅游，"意识流"已开始"流动"起来。
3、在研究解决问题的过程中，教师还应及时提醒学生：对于这个问题，怎样去研究更好？应采取什么方法、途径、手段？甚至对不同的研究方法进行研究、比较、鉴别，使学生领悟到，研究解决一两个问题并不重要，只有在研究方法上不断有所突破，才能不断开拓新的思维空间。"意识流"在更高的层次上继续流动。
4、根据不同问题的性质和功能，有时教师可以向学生提出：这个问题的前伸后延是什么？就这个问题你还能设计出哪些问题？由这个问题的结论，你还能想到哪些结论？问题还有哪些输入通道？还有哪些输出方式？当然，在一堂课的有限时间里，不可能将所涉及的问题一一具体解决。但以这样的方式提出问题却可以使"意识流"的"流量"，密度大大提高。
5、有时，还要向学生提出：你能不能将今天研究的问题还原成实际中的具体例子，你能不能将实际中的具体问题抽象成数学模型？意在使"意识流"从课内流向课外，从书本流向实际，保持着可持续发展的态势。
此外，"意识流"教学法还有其它的方式，但以上五种方式是．笔者常用的。当然，并非每节课这五种方式都要用到。
"意识流教学法对于超常儿童的创造性思维能力的培养有什么意义呢？中学超常教育本身就是一个系统工程，作为这个系统工程的主体部分--课堂教学，如果仅有计划的修订，教材的选编，密度的增大，时间的压缩，而在教学方法上没有大的改动，仍基本沿用传统的、普通的方法，那么，这些在生理、心理、智力、认知等方面占有明显优势的超常儿童就会找不到释放自己创造能力的突破口。做为教育者，我们也很难找到开发超常儿童创造性能力的切入点。从另一方面看，创造性思维能力的形成又是很多因素决定的。这其中包括：勇于探索的精神，善于探索的能力，发散思维与收敛思维的协调配合，发现思维能力的强弱，其中又包括直觉思维，归纳思维，类比思维，辨析思维等思维品质的良莠以及数学方法论的意识等等。"意识流"教学法正是力图为超常儿童在这些能力、品质和意识的培养上打开一条通道。

二．"非常规"--不拘一格的教学策略
智力超常儿童在智力上、思维上、心理上确实表现出了许多明显的"非常规"的特性：
一是变通性好，灵活性强。超常儿童的神经类型多为灵活型的。他们的思维活动不仅思维量大，思维速度快，而且表现出相当的敏捷性和深刻性。他们往往善于深入地变通地从不同角度思考问题，常常不满足于了解事物的表象而宁愿去研究探讨那些变化多端的深层次问题。
二是流畅性好，穿透力强。超常儿童在学习上大多具有科学的方法意识和策略意识。他们尤其不满足于"学会"而更注重于"会学"。他们不满足于掌握一个个孤立的知识点，更渴望去发现一条条知识线，去展示一个个知识面，不断拓宽新的知识空间和能力空间。他们不仅仅要求穿透事物的表层，也要求认识事物的内部联系和规律，而且常能大胆地突破思维定势，标新立异地去预见事物的变化趋势、进程和结果。
三是切换性好，想象力强。超常儿童既善于把握学习的程序性和知识的严谨性，又善于模糊这种程序性和严谨性。他们能不失时机地努力将各种看似毫不相干的问题联系在一起，从一种问题切换到另一种问题，甚至进行似是而非，模棱两可的思考。而正是这种不那么"程序化"，不那么"严谨化"的思考往往成为他们发挥想象力的温床和土壤。我曾根据报纸上的一则材料做了这样一个实验：在一个常态儿童班级和一个同龄的超常儿童班级提出相同的一个问题，分析两组儿童对问题的态度和回答。问题是："你认为电视机和小猫有什么相似之处吗？"问题提出后，在常态儿童班级引起了一阵哄笑，他们觉得奇怪：一个是家用电器，一个是小动物，它们之间怎么会有相似之处呢？但是在超常儿童班级提出同一问题后，却引来了片刻的安静，孩子们开始紧缩眉头进行思考。很快，多数学生谈出了二者的相似之处：都会发出声音，都有尾巴（电视有天线），都会表演，都会眨眼睛（电视可开闭）都有复杂的器官（内部结构）等等。显然，智力超常的儿童完全可以对于这种"非常规"的问题做出"非常规"的思考，给出"非常规"的解答。我表扬了他们，并因势利导地布置一个作业：请根据电视机与小猫的相似之处提出一个设计电视机外形的方案或为新型电视机做一个广告创意。人们通常思考问题往往习惯于认真、精确、摒弃模糊，这没有什么不对。但是在有些情况下，尤其是在创造性思维过程中，有时模糊的，不确切的含义，非程序，非严谨的形式更能发挥人的想象力。超常儿童的思维恰好具有这种可贵的品质。他们既进行常规思维，也进行非常规思维，既进行严谨的逻辑思维，也进行模糊的非逻辑思维，既进行程序化的演绎思维，也进行非程序化的直觉思维，既进行数学思维，也进行非数学思维。作为超常教育实验班的数学教师，刻板地"教教案"，"教教材"，"教学生"已远远不够，他要培养学生的思维像"孙悟空的七十二般变化"那样，没有禁区，没有顶峰，没有止境，能独立思考，独到发现，独特表述，不断提出新问题，涉足新领域，"学贵有疑，疑而出新"，以形成可持续发展的创新精神和创新能力。这种认识令我在自己任教的班级里，经常提出一些不那么"规范"的问题，引导学生不那么"严谨"的思考。例如：
"每人一个坐标系！"
建立数轴和坐标系，是为了在"数"与"形"之间架起一座桥梁。用"数"去细致深刻地研究"形"，用"形"去直观形象地理解"数"。对于超常儿童来说实现这一点并不难。在讲清数轴上的点与全体实数，坐标平面的上的点与全体有序实数对的一一对应的道理之后，我启发学生："坐标系是人们研究问题的一种工具，不必千篇一律。你能建立起自己的坐标系吗？"于是学生调动起丰富的想象力，开始为自己建立坐标系。有的把数轴设计成折线形，曲线形，凹凸相间形……，有的把点的排列方式规定为奇偶分开式，正负混杂式……，有的用面积值和角度值来表达一个点的位置，有的建立起了类似斜坐标系、极坐标系和空间坐标系的坐标系，有的建立起了半圆坐标系、三角形坐标系、正方形坐标系……。进而，我又建议他们用自己的坐标系重新去研究距离公式，定比分点公式，求简单曲线的方程等等。学生在自己千姿百态的坐标系中进行着"千奇百怪"的推导、演算、论证。尽管，真正简单实用的仍为传统意义的坐标系，但它却是学生创造力和想象力的有意义的演练和展示，它使学生兴奋地参与其中，运用自己所有的潜在智慧去进行创造性的劳动。
"亲自定义一种运算"
在数学中要经常进行运算，包括数的运算，式的运算，集合的运算等。超常儿童对于运算可以说有着特殊的敏感，不仅运算速度快，准确率高，而且运算方法巧妙。但由于有现成的意义法则可遵循，有标准的答案限制，学生仍跳不出纯粹数学化的"已知--求解"模式。因此，我常常在学生对某一运算津津乐道时不失时机地提出："运算只能在数与数、式与式、集合与集合之间进行吗？你能定义一种新的运算吗？你的运算有什么性质和法则？"在老师的"煽动"下，有人定义了数与形的运算，有人定义了三角形、四边形、圆之间的运算，有人定义了平面图形与立体图形间的运算，有人引进了某种运算符号，使平面图形"长成"立体图形并象"变形金刚"一样变化多端，有人在加、减、乘、除、乘方、开方、取对数等运算的基础上，定义了各种复合运算。对于学生来说，一向都是学习书本上的定义，演绎别人的定义，而如今自己参与下定义，这使他们感到了自己独特的生命表现和充分的个性展示。
"设计一种塞规"
培养空间想象能力是立体几何教学的重要目标之一。但对于超常儿童来说，仅仅按公理体系展开形式演绎是不够的。超常儿童特殊的、潜在的想象力需要特殊的训练方法去开发，需要外显的信号去诱导刺激。我通过"水槽问题"引导学生研究几何体的截面、体积及它们的相互关系；通过"补视图问题"使学生把握简单几何体与组合几何体的关系以及把它们的投影还原成立体；通过研究几何体在不同方向的光线下的影子的形状，使学生掌握几何体在空间的平移规律；通过画法几何学中的截交线与相贯线了解各种几何体的不同穿插组合。为了提升学生的想象力，我把塞规设计引入课堂。给出轮廓样板，让学生设计塞规，给出塞规让学生设计轮廓样板。这种充满趣味又富于挑战的问题，极大地满足了超常儿童的心理和智力需求。

三．"玩数学"--充满活力的教学模式
"活"与"动"是超常儿童的两大明显特征。一方面，头脑灵活，思维灵活，善于"活学活用"，另一方面，他们又多动、好动，既喜欢动脑思考，又喜欢动手操作。传统的数学教学模式偏重于"教数学"，"学数学"，"思考数学"，"演绎数学"。这对于超常儿童来说无疑也是必要的。但他们的超越常态的智力水平加之活泼好动的儿童天性使他们也渴望另外一种教学模式，即"玩数学"，"感知数学"，"设计数学"，"实验数学"。超常班数学教学的实践使我强烈地意识到只有将两种教学模式有机地结合在一起才更有利于超常儿童认知的发展，高水平数学素养的培养以及现代数学意识的形成。只有使数学与他们的心灵相通，只有将他们置于主动、积极的动手动脑实践中去时，抽象的数学知识，数学概念才会具有丰富的，鲜活的血肉灵性，具有动感、色彩感和三维空间感。当我们设法把孩子们外显的认知活动引向内化的认知活动时，他们便有了几分"数学化"的成熟和跃跃欲试的创造冲动。为了满足超常儿童的这种心理需求和智力需求我在自己的教学实践中为他们安排了充满活力和新奇，充满体验和兴趣，充满创造和成功的数学活动，让他们尽情地在自己的数学王国里"玩数学"，"看数学"，"想数学"，"创造数学"，"享受数学"。例如，通过"半球浮出水面"的实验，学生找到了推导球体积的公式；通过亲手用小刀削萝卜土豆，学生领会了"割补原理"在体积计算中的应用；通过"撕纸"的游戏，学生产生了对指数函数探求的欲望；通过摆火柴棍，学生悟出了数列的递推关系；通过演示多米诺骨牌游戏，学生深刻理解了数学归纳法的证明原理；通过让学生用左手画图、演算比赛，在活跃课堂气氛的同时开发他们的右脑。

斯米尔诺夫在他主编的《心理学》中提到：能力是在活动中形成和发展起来的。活动越是多种多样，越是内容丰富，能力就可能发展的越充分，越明显。对于超常儿童来说尤其是这样。我经常在所教班级组织"小小数学运动会"用开运动会的方式去组织数学比赛活动，使数学更具竞争力，表现力，使学生久久难以忘怀。我针对学生学习中、作业中的典型错误组织了"数学小诊所"活动。由值日小组长指出"病题"，查出"病因"，开出"处方"，再交给老师验收。这种纠正错误的方式是孩子们所乐于接受的。我要求孩子们坚持写："数学日记"，在日记中记下自己的数学思考、数学问题、数学发现、学数学心得。孩子们通过数学日记在和老师进行"数学交流"的同时，也形成并留下了带有个性印记的数学思想和数学意识。我让孩子们通过查找、收集材料，开展"数学史话"活动。让孩子们知道："刘徽祖氏'割得'圆周率，兔子繁殖演绎黄金分割，希帕索斯命丧鱼腹皆因根号2，笛卡儿军营入梦绘得坐标系……"这些，对于学生科学思想的形成和献身科学精神的培养起着潜移默化的作用。我指导孩子们进行数学测量，设计停车厂和街心岛花园，他们再动脑筋想办法克服测量中的困难的同时增长了才干，磨练了意志。我号召孩子们编写数学谜语，写数学小品，用文学的笔调阐述数学概念或数学原理，将数学与文学嫁接，让他们在接受自然科学训练的同时也接受人文科学的熏陶。我常把带有数学背景的问题设计成游戏，让他们先动手操作，再观察现象，把得到的数据填写成实验报告，用数学的思想方法猜想规律并加以证明。我围绕环保、土地、金融、保险、购房贷款、还本销售、让利酬宾等热点问题让孩子们展开数学调查，用数学的头脑去分析这些社会问题。我经常在班级进行数学命题命名活动，将学生们发现推证的一些命题、结论、公式用他们自己的名字去命名，极大的增强了孩子们的成功感和自豪感。我经常以"记者招待会"的形式进行学生小论文的发布和答辩活动，让他们充分展示自己的数学才华和雄辩才能。我要求孩子们利用寒暑假开展"寻找数学"活动。让他们从自己的所见所闻中找一找、想一想、做一做、算一算，看看有什么数量关系、数学原理，应当进行怎样的设计和数学改进。

这些为超常儿童提供了展开丰富想象、初露才华的广阔天地的，提供了模拟未来发明家和科学家的成长历程的机会。同时由于这些活动是在教师的引导下由学生集体参与进行的，强调的是教师与学生、学生与学生、学生与社会的多项交流。因而能最大限度的发挥各种教育因素的相互作用的潜能。正如前苏联学者雅各德钦所说：重要的是创造一种生动活泼的课堂气氛，是学生感到没有思想负担，大胆地无拘无束地讨论问题，论证自己的观点，学会证明和反驳。特别是对于智力超常儿童来说，他们的思维活动和思维结果往往超出教师精心设计安排的期望轨迹，他们的独特见解常常在某一方面超过老师，他们的与众不同的思维方式方法更具有互补性、相互纠正作用及相互激励作用。这种在兴奋、愉悦、和谐氛围中的"玩"数学能最佳地表现出快速密集、灵活多变、创新求异的思维状态；观察敏锐、想象丰富、产生灵感的智力状态和勇于探索、置疑问难、不畏艰险的精神状态。它在学生之间形成的多项反馈回路是一种强度很大的思维"场"和智力"场"。在这个"场"中每个天才儿童都奉献着自己的智力资源，同时又获得其他人的智力资源。这是对超常智力的"超常"开发和"超常"利用。

"玩数学"不仅为超常儿童插上了想象的翅膀，更唤醒了超常儿童对数学美的追求，对创新的渴望。古代著名哲学家、数学家普罗克拉斯指出："那里有数，那里就有美。"智力超常儿童常表现出对于数学的偏爱，这实际上是对数学美的一种潜在的强烈追求。如果说数学是超常儿童头上的红太阳，数学美则是他们心中的红太阳。一旦太阳放射出万道霞光，便能大大激发美感思维。美感思维具有很强的开拓性，能推动发明创造灵感的不断迸发。为牛顿和贝多芬做传的沙利文写到："一个科学理论成就的大小事实上就是它的美学价值的大小"，"引导科学家的动力归根结底是美学冲动的表示"。引导超常儿童发现数学美，体验数学美，追求数学美必将促使他们创新思维的极大发展。

通过"玩数学"，在数学美的发现中激发创新灵感。黑格尔说过："审美带有令人解放的性质。"当我们引导学生发现了数学美，当我们把学生带进五彩缤纷的数学百花园时，就会唤醒学生求美的天性，唤起他求知的好奇心，他的思维便会迅速处于一种带发的状态。这是，看似枯燥的数学在学生心中便有血有肉，有声有色，思维更加敏捷。只要出现某种偶然的契机，便会协奏出灵感和顿悟的交响乐。在研究数列问题的时候，我曾带孩子们做拼摆火柴棍的游戏。由三角形到四边形、五边形、六边形；由直线形到曲线形、螺旋形、放射形；由平面图形到立体图形。不断填加火柴棍的每种摆法对应着一个数列的递推关系。学生们面对着自己设计的各种美丽图案在动手操作中深刻地理解了这种递推关系。当我把一个复数数列的递推关系介绍给他们并把这个数列对应的点集--曼德勃罗集在电脑上展示后，他们为眼前这幅梦幻般的、无比美丽的图案深深吸引。学生们纷纷尝试利用数列的递推关系进行电脑作画，尽情享受着创新灵感带来的欢乐。

通过"玩数学"，在数学美的体验中激活创新能力。发现数学美，刚刚迈入数学美妙殿堂的大门还远远不够。教师还要适时引导学生体验数学美，展示数学美，欣赏数学美，进而发现美中的不足，产生改造美中不足的冲动，推动创新思维的产生、积累和发展。我曾把剪纸这种中国民间艺术引入数学课堂。一开始学生好奇，兴奋，跃跃欲试。随着一个个美丽剪纸艺术品的展现，学生们充满美感，思维变得异常活跃。当我提出："我把纸的折法和剪法告诉你，你能想象出我剪成的图案吗？"后，学生的空间想象能力变得十分丰富，十分快捷。他们不仅预测了展开后的图案，而且设计了能形成某种图案的折纸、剪纸方案。利用剪纸训练学生的空间想象能力收到了意想不到的效果。

通过"玩数学"，在数学美的追求中激励创新精神。当学生在数学美的体验中品尝创新思维换来的成功甜果，审美情感带来的愉悦和享受的时候，教师应当引导学生对数学美的不断的孜孜追求。教育学生只有不断的努力拼搏才能不断地达到更加美好的新境界。将学生对数学美的追求内化为追求美好的精神力量，以促使他们不断迸发出新的奇异设想、念头，以获得更大的理性满足，这恰是新思想和新方法的新起点。我曾在课堂上向学生介绍"数学怪物"--迷人的"雪花曲线"。学生们为它的美丽和神奇惊叹不已。班级组成了"雪花曲线"研究小组。他们上网查询，广泛搜集材料，反复独立研究，得出了"雪花曲线"的性质及其证明。当我表扬了他们之后，他们没有满足，又对"雪花曲面"进行了研究。得出"面积有限，周长无限"和"体积有限，面积无限"两个特征。有限与无限可以统一在一个几何图形上，多么令人神往的性质！为了达到更加美好的新境界，他们又在寻找其他具有这种特征的几何体。终于，他们找到了具有同样性质的超正方体和超圆锥体。对于十三岁的孩子来说这是多么感人的发现！然而，他们还在继续努力，把这种数学发现引向了实际运用。运用"雪花曲线"和"雪花曲面"设计了"新型马拉松跑道"和"高能太阳能蓄电体"。这种设计或许有几分幼稚，但它却包含这孩子们的期盼，期盼着美丽的"雪花曲线"能给人类带来更多的美好。

数学是天才儿童的乐园，让每一个天才儿童在自己的数学乐园中尽情创造数学、享受数学是我们每一个天才教育工作者的神圣职责。我愿意和各位同仁一起为此继续作出不懈的努力！

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