万物皆数万物皆理

七 09

万物皆数万物皆理

拾慧|〖寻章摘句〗 qiusir 2019

Le Grand Roman des Maths Mickael Launay
《万物皆数》孙佳雯译低音
@qiusir:这本书的书名或许可以叫《数学简史》，有很好的阅读体验，首先想到读赫拉利的《人类简史》的感受。万物皆数，万物皆理...
“可我这人...我数学一直学得特别不好呢！”

1.不自觉的数学家
无论是哪种手斧，都有一个共同点：对称。到底是因为这种几何构造的实用性呢，还是仅仅出于某种审美意图？（人从什么时候喜欢对称的，为什么喜欢，如果没有对称的审美，这个社会会变成别的什么样子...）
一路看下去，然后我作为数学家的灵魂被点亮了。我看到了对称、旋转、平移。

2.数字的形成
越来越复杂的等级制度被建立起来，智人们发现了行政管理的乐趣。
因为有了文字，智人才走进了历史。而在这一伟大革命酝酿之际，数学将发挥先锋的作用。
筹码获得了一个拉丁语的名字---calculi，意思是“小石头”，正是这个词根的基础上，才衍生出计算（calcul）...
我们为什么还要继续制作这种中空的球状信封呢？我们完全可以简简单单地把筹码的图像画在随便哪一块黏土板上...这就是我们所说的“书写”的起源。（文明是需求的进化？）
数字已经获得了属于自己的符号。为了表示8只羊，人们不再使用8个表示羊的符号，而是写一个数字8再画上一只羊的符号。为了表示8头牛，也只要把羊的符号换成牛就好。而数字本身则保持不变。这一步在人类的思想史上绝对是至关重要的。
如果必须要为数字的诞生选定一个出生日期的话，我无疑会选择这一刻。正是这一时刻，数字开始独立存在了，正是这一刻，数字从现实中被抽离出来，人们能够从更高层次观察数字。
对数字书写的需求成为文字出现过程中至关重要的时刻，这绝对不是什么巧合。
在文字书写诞生以前，人类语言中没有表示大数字的单词。

在我们这个时代，一些原住民的语言中，表达数字的词汇仍然十分有限。比如对于皮拉罕部落的成员---他们是生活在亚马逊河流域的狩猎采集者---来说，他们的语言中只有1和2两个数字，除此之外，他们会使用同一个词代表“若干”或者“很多”。同样是亚马逊河流域，蒙杜鲁库人表示数字的语言只有1到5，正好是一只手的手指数量。

在古巴比伦人之后，玛雅人也发明了一种位置计数系统，但却是20进制的。然后古代印度人发明了十进制的计数方法。这种计数方法将会被阿拉伯学者重新使用，然后在中世纪末传入欧洲。在欧洲，这些符号被称为“阿拉伯数字”，并很快就在全世界范围内普及开来。

公元前6世纪的时候，毕达哥拉斯在数字的基础上形成了他的基本哲学概念。这位古希腊先哲说：“一切皆数。”
人们开始讨论数字究竟是一种什么样的存在。一些人认为，1不是数字，因为所谓数字是为了复数的存在而存在的，因此从2开始才是数字。人们甚至进一步推论说，为了能够生成所有其他数字，1必须既是奇数又是偶数。
不久之后，出现了零、负数，甚至虚数，他们将引发人们更热烈的讨论。

3.不习几何者不得入内
正是由于几何学的出现，人成就了人类历史上第一批最伟大的数学之星，比如泰勒斯、毕达哥拉斯和阿基米德，他们的名字直到今天还出现在我们的课本里。
在进入伟大的思想家们的视野之前，几何学是在“田间地头”赢得自己的声望的。这一点从geometrie一词的词源就能看出来。

古希腊人认为，几何学因其严谨性和能够训练头脑而尊贵。对柏拉图来说，想要成为哲学家，几何学是必由之路。相传，在柏拉图学院的正门上，刻着这样的座右铭：“不习几何学者不得入内。”
第一批被称为三角数字的有1、3、6、10。
10个点构成的三角形，正是著名的“圣十结构”，被毕达哥拉斯和他的追随者们认为是宇宙和谐的象征。
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10*10

4.定理时代
柏拉图体？为什么不是泰阿泰德立体？有的时候，历史就是这么不公平，接受后人赋予的荣誉的人也不一定就是原本的发现者。在这5种正立方体的发现过程中，雅典哲学家柏拉图其实一点贡献都没有，但是他因为开创了一种将这5中正立方体和宇宙元素联系起来的理论而驰名。
我们得承认，泰阿泰德也不是人类历史上第一个发现者5中正立方体的人。人们发现，在更古老的雕刻模型或者书面记录中，也出现了这5中正立方体。但他是第一个声明正立方体只存在这5中情况的人。这是古希腊数学家们为了研究数学问题而踏出的里程碑式的一步。数学研究不仅仅是为了寻找问题的解决方案，他们希望数学能够“穷尽”问题。
一些微生物，比如病毒，在自然的情况下会呈现正二十面体或正十二面体的形状。

公元前7世纪末期，在位于现今土耳其东南海岸的港口城市米丽都城邦，古希腊历史上第一位伟大的数学家降生了，他就是泰勒斯。现今仍然很难提炼出他生平和工作的可靠信息。
古希腊时期的科学家们并不会用过于严苛的道德标准来束缚自己，因此当他们得到不合自己口味的结论时，随心所欲地篡改事实也就不足为奇了。
“漫不经心学术派”的祖师爷。观天象掉井里...据传80多岁的时候死于观看一场体育比赛，他被比赛现场深深吸引了，以至于忘记了吃喝，活活饿死了...
泰勒斯是人类历史上第一个准确地预测了日食的人。
让我们来看一看这个奇怪的、既迷人又吓人的词：theoreme，来自古希腊语词根thea（冥想）和horao（凝视、看见）
一个定理绝不仅仅是陈述一个数学事实，它必须被用尽普适的方式概括出来或写出公式，并且必须伴有使之得以成立的证明过程。
泰勒斯提出的陈述之所以来不起，并不是因为它的内容，而是它的表达方式。泰勒斯敢说，所有圆都是这样，毫无例外。而同样是表达这一规则，古巴比伦、古埃及人、古代中国人都只是举了一个个例。
从来没有人下一个普遍意义上的陈述性断言。

泰勒斯明确地给几何图形赋予了抽象的数学对象的地位。这种思维阶段正类似于2000多年以前，美索不达米亚人首先将数字从被计数的对象身上独立出来。一个圆，它再也不是某个画在地上的圆，也不是画在黏土板上或莎草纸上的圆。圆成为一种虚构，一个想法，一个抽象的完美典型，而所有现实生活中国的圆，都是一些不完美的化身。（赫拉利提到过想象的事实）
泰勒斯在米利都收了好多弟子，弟子中的弟子有个叫毕达哥拉斯的人。
如果毕氏学派存在与我们这个时代，这个由毕达哥拉斯亲自发起的共同体社团毫无疑问会是阴暗、危险的邪教之一。必须经过5年的静默期，不得拥有任何个人财产...
关于勾股定理，现存最古老的证明出现在毕达哥拉斯三个世纪之后的，由欧几里得撰写的《几何原本》中。
5.一点儿方法
古希腊人并不知道小数点，他们只用整数来测量长度。

毕达哥拉斯相信，任意两条线，不管长度是多少，总是能够找到一个合适的度量单位进行同时测量。
（但）希帕索斯发现，在一个正方形中，边长和对角线常是不可同时测量的。毕达哥拉斯和他的门徒们大为惊慌，将他驱除出毕达哥拉斯学派。
公元3世纪中国数学家刘徽想象出的切割方式。（找时间研究下勾股定理的多种证明）
欧几里得的《几何原本》是人类历史上再版次数仅次于《圣经》的著作。
“点是没有部分的东西。”
在20世纪早期的一些法国教材里，我们有时能找到这样的定义：将一支削得极细的铅笔笔尖压到一张纸上，得到的痕迹就是“点”。这次我们终于有了一个实体的点。然而，这样的定义却能把欧几里得、毕达哥拉斯和泰勒斯等古代数学家气活过来。
阿喀琉斯真的是分分钟就能超越乌龟，然而，芝诺的推演过程看上去很牢固...
数学家们花了很长的时间，才终于明白这个悖论实际上是巧妙地玩弄了“无限”的概念。
芝诺悖论切割了时间间隔，这是一种有限中的无限...
这些无限的过程却发生在有限的时间内，因此，当时间被突破的时候，就没有什么能阻挡住阿喀琉斯追上乌龟的脚步了。

6.从π到pis（更坏）
2009年，美国众议院正式通过每年的3.14定位圆周率日。
数学家们推测，任意一组数列，不管他有多长，都会在π的小数点后的某处出现...
@qiusir:从对数学学科的贡献，古希腊才称得上文明古国，贵国似乎只是封建王朝的迭代。
据说，公元前212年，罗马军队最终攻占了希腊库萨城。指挥这场攻城战役的将军命令士兵赦免时年75岁的阿基米德。然而，城破之日，这位古希腊学者还在专心致志地研究着他的几何问题，当一位士兵从他身边走过的时候，正在地上作图的阿基米德漫不经心地说道：“别弄乱了我的圆！”这位士兵恼羞成怒，一剑刺穿了阿基米德的身体。
为了扩充图书馆馆藏，托勒密一世的策略很简单：一切停靠在亚历山大港的船只，都必须上交船上的多有书籍。这些书将被复制，最后还给商船的是复制版，而原始版直接进入亚历山大图书馆。
围绕着亚历山大博物馆，由誊写人、译者、书评人和出版人构成的整个生态系统也在逐渐形成。
希波提娅的父亲曾任亚历山大博物馆的馆长...她还发明了比重计。
415年，她招来了这座城市中基督徒的怒火，他们追捕她，最终将她谋杀，她的尸体被切成碎片并焚烧。
在亚历山大博物馆被关闭和希波提娅被谋杀之后，亚历山大港的科学圣火很快就熄灭了。

7.零和负数
位于西藏的冈仁波齐峰海拔6714米，是人类至今还没有登上的高峰之一。
人们有时会这样问我，“是不是你曾经有一位特别的数学老师，把他的热忱传递给了你？”“当你还是个孩子的时候就已经喜欢上数学了吗？”突如其来的、对数学产生“使命感”总是能引起人们的好奇心，但就算知道了前因后果，数学对于人们来说仍然是神秘而晦涩的。
我不得不成热我并不知道以上问题的答案。在记忆中，我一直热爱数学，我也找不出生命中某一特殊的事件最终引领我走上这条道路。
庞加莱：“数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术。”
正数和负数之间的统一，如同数字零一样，也是由印度学者们率先完成的。贡献者仍然是波罗摩笈多。
8.三角原力
科学的这种从一个中心向地方分散的过程，在很大程度上因为一个来自中国的发明而变得更加容易，那就是纸。
只存在17种类型的几何密铺。（很多年前，少儿部刘利老师上过相关的公开课）
@qiusir:巴格达，那个和独裁、战火相关的地狱之城，曾几何时是数学的花园...
@qiusir:没自己的孩子，缺少了更切身的教育实践的机会，但另一个角度，少了传统教育的干扰，得以让理想的教育在头脑中发育成长，尽管在现实中她如此弱不禁风，但还是如信天翁一样蹒跚地走着，相信她有振翅高飞的那一天。
希腊人是人类历史上第一个建立三角函数表的民族。
记录存在的意义就是为了被打破，而定理却恰恰相反。
卡西尼家族是第一批现身于测量巴黎子午线事业的研究者之一，这个家族是一个货真价实的科学世家，以至于人们用命名国王的方式来指代该家族中的成员。
公制（米制）的出现是在法国大革命期间。一米恰好等于巴黎子午线程度的四千万分之一。
一直到1884年，在美国华盛顿召开的国际本初子午线大会之前，巴黎子午线始终都是重要的参照。然而在那次大会上，巴黎子午线被穿过英国伦敦皇家天文台的格林尼治子午线取代。因为子午线的变换，英国人承诺会调整长度公制，而我们还一直在等待这一刻的到来。
犹他茶壶

9.面对未知
花拉子米是一位波斯数学家，跻身人类历史上最伟大的数学家行列，可以与阿基米德和婆罗摩笈多比肩。将来自印度的十进制推广到全世界
《还原与对消计算概要》为一个能代表这个学科的单词algebre即代数学。
代数学的这种能够生成令几何学“毫无招架之力”的难题的能力，很大程度上推动了文艺复兴时期出现的数学“大颠覆”，因此在文艺复兴时期，代数学很快就被加冕了“数学女王”的桂冠。
公元1219年，成吉思汗率领的蒙古铁骑冲进了花拉子米的故乡，1258年，蒙古人在成吉思汗之孙的带领下，兵临巴格达的城门之下...
一直到16世纪，阿拉伯世界还在创造着领先世界的科学研究，但很快，历史之风转了向，欧洲已经做好了准备，即将接过数学的圣火。（一方面战争毁灭文明，另一方面也促进了文明的扩散和转移）
10.数列
中世纪时期欧洲最伟大的数学家，毫无疑问是意大利的斐波那契，1175年出生在比萨。（伽利略也出生在这个意大利西海岸的比萨城）
黄金分割率fai
黄金分割率的平方等于黄金分割率加1

11.虚数的世界
邦贝利的书中详细介绍了“复杂的数”的所有计算规则，尤其指出，“复杂的数”的平方是负数。和婆罗摩笈多当年创造出负数一样。
我们无法给虚数赋予一个可以应用在日常生活中的意义，甚至睡不着的时候也不能拿它们数羊。
但，尤其是在所有的波现象中，比如电子学或者量子物理，如果没有虚数，许多现代的技术创新就不会成为可能。
这个理论必须要有用；这个理论必须是美的。
如果这个点不并不是一个顶点，那么我们就不能说任意多边形的边长数等于顶点数了。
数学之美可以有多种形式，最核心的一点在于，它能够在复杂的研究对象和简洁的表达式之间建立起令人目眩神迷的联系。
如果我们算上虚数的解的存在，所有的两个方程都有两个解，当花拉子米宣布一个二次方程没有解的时候，原因很简单，因为他手里的数字范围太狭窄了。其实有两个虚数解。
所有四次方程都有四个解...19世纪初期，德国数学家高斯证明了它，今天称之为“代数基本定理”。
邦贝利或许没有想到，在他给自己的“复杂的数”正名的时候，也小心翼翼地为后世的数学家们推开了一扇天堂之门。
“借透彻的洞察建立优雅的抽象概念，再将之漂亮地形式化。”

12.数学语言
1450年德国人古登堡发明了活字印刷术。
吊诡的是，教会很长一段时间以来一直鼓励着科学的发展，但没想到，科学的发展最后却给天主教教义的基石以沉重一击。
“然而，地球是围绕着太阳转的！” E pur si muove!
文艺复兴时期法国诞生的第一位伟大的数学家韦达
作为职业律师的同时，韦达还是一位数学爱好者。
终其一生，韦达一直在自费出版数学著作，然后将他的书寄给他认为值得阅读此书的人。
13.世界的字母表
“哲学写在这部称为宇宙的大书上，这本书永远打开着，接受我们的凝视。但要我们不先掌握它的语言，不去解读它赖以记录的字符，那我们就不可能理解这部大书。它以数学语言写就，其字符是三角形、圆形和其他几何图形。没有这些，凡人连一个词也读不懂；没有这些，人们就在暗黑迷宫中徘徊。”
伽利略，这位意大利的科学家被普遍认为是现代物理学的创始人。（很想再买一个版本的再读一遍，不知道有没有物理学史的书也写得这么好。）
想想看，每一次当你举起一个物体的时候，都可以说你的肌肉力量比真个地球对这个物体的吸引力还要大。
哈雷彗星在1759年来到太阳附近，不幸的是，哈雷并没能够活得足够久，亲眼见到这颗以他的名字命名的彗星的回归。但是通过哈雷彗星，万有引力的理论和物理的数学化用光彩夺目的事实，向世人证实了它们令人难以置信的强大力量。
伽利略在《试金者》一书中，除了发表他对于世界的数学化刊发之外，还支持了“彗星是大气现象”的观点，算是对持有相反观点的数学家格拉西的回应。
无论名声还是成功都不是真理的必然条件。格拉西真应该对伽利略说：“然而，地球是围绕太阳转的...”
在古代，当一位声名在外的学者犯了错，通常情况下，他的一众弟子还是会毫不犹豫地跟随他，权威本身就作为一种论据。即使某个错误的观点只需要一个简单的实验就能被推翻，然而往往几个世纪的时间都无法让人们自愿放弃那些错误的想法。相反，到了伽利略的时代，人们只花了几十年的时间就发现了他的错误，这的确应该算得上是科学环境健康发展的标志。
在牛顿确立起万有引力这个公式之前，人们本来可以很合理地推断，一个力的大小是完全不可能通过数学公式来表述的。即使能，人们也可能觉得这样一个公式应该包括非常复杂的运算，而不会仅仅由乘法、除法和平方运算构成。
14.无穷小
因为物理学是一门极度以来公式的学科，每一个新的发现都会提出新数学问题，而此时的数学往往还远远落后于物理学的脚步。（物理学催生了微积分，或者说，微积分是为了解决物理问题而发展出来的。）
15.测算未来
博士docteur来自拉丁语docere，意思是“教导”。因此，博士指的是那些对自己所在的领域足够熟悉，能够传授给他人的人。
16.计算器时代的到来
17.未来的数学
哥德尔不完备定理是数学思想中的一座丰碑。

P.S.年末温习
据传泰勒斯80多岁的时候死于观看一场体育比赛，他被比赛现场深深吸引了，以至于忘记了吃喝，活活饿死了…
泰勒斯敢说，所有圆都是这样，毫无例外。而同样是表达这一规则，古巴比伦、古埃及人、古代中国人都只是举了一个个例
泰勒斯明确地给几何图形赋予了抽象的数学对象的地位。这种思维阶段正类似于2000多年以前，美索不达米亚人首先将数字从被计数的对象身上独立出来。
想想看，每一次当你举起一个物体的时候，都可以说你的肌肉力量比真个地球对这个物体的吸引力还要大。（对你影响最大的未必是最伟大的人...）
博士docteur来自拉丁语docere，意思是“教导”。（“导师”责任的复杂可以从曼陀尔（Mentor）那得到体现，一个Mentor（男）承担着看护的任务，另一个Mentor（女，雅典娜伪装的）承担着指导的责任。）

On this day..

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