制作正弦值表

六 28

制作正弦值表

教研|〖数理探究〗 qiusir 2016

备忘

用张景中院士的“教育数学”理论开展超常的“数学教育”实践，姜平老师在给少30的学生进行“从正弦到三角函数”的拓展讲座⋯⋯

通过纪老师的“正弦及其简单性质”一课，同学们应该了解到张景中院士重新构造的正弦定义，“边长为1的菱形面积定义为 $sinA$ ”，也已经知道一些特殊角度的正弦值，比如（0° 90° 180°）...
角度的正弦值只与角度有关，逻辑上有点像是物理上物质密度的概念，一个角度的正弦值与边长与所在图形无关，就如一杯水一滴水的密度都是 $1g/cm^3$ ，而 $0.8g/cm^3$ 可能是煤油的密度，还可能是酒精的密度，就如上节课提到 $sin(\pi-\alpha)=sin\alpha$ （互补角的正弦值相同）。

实验目的
（开始学生对在机房里做数学实验很是不解；GSP软件的操作基础差别很大）
本次实验的目标是自己动手制作出间隔为1°的正弦函数表。
在测量工具相对落后的年代，正弦有着广泛的应用，这种算法极大推动了历史的进步。想要讲这个工具普及到使用的级别，不可缺少的时一张正弦值表。
公认的第一张三角函数表-弦长表是由托勒密制作，今天我们按照被被改造和简化了的方法重复前人的工作。

原理用具
性质1：两角和正弦
$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot sin(90^\circ-\beta)+sin\beta\cdot sin(90^\circ-\alpha)$
利用面积法证明。（之前已经学习了正弦定理，并会用 $sinA=\frac{a}{c} sinB=\frac{b}{c}$ ，此处和传统正弦定义交叉贯通）
性质2：正弦勾股定理
当 $\alpha+\beta=90^\circ$
$sin^2\alpha+sin^2(90^\circ-\alpha)=1$
由此，指导一个锐角的正弦就可以计算出其余角的正弦，本次实验的正弦表未知量可以压缩到（0，45°）。
性质3：二倍角
$sin2\alpha=2sin\alpha\sin(90^\circ-\alpha)$

性质4：两角差正弦
$sin(\alpha-\beta)=sin\alpha\cdot\sin(90^\circ-\beta)-sin\beta\cdot\sin(90^\circ-\alpha)$
类比两角和正弦的面积法证明。

实验步骤
1、通过前面得出的公式，我们可以求出那些特殊角的正弦？
（对于30°等特殊角要先避开勾股定理的直接运用，或者鼓励学生用两种方法，强化之前的公式运用）
2、两种方法求解 $sin15^\circ$
3、更具提示计算 $sin18^\circ$
4、计算 $sin3^\circ sin\frac{3}{2}^\circ sin\frac{3}{4}^\circ$
5、估算 $sin1^\circ$
6、制作正弦值表 $sin1^\circ sin(\alpha+1^\circ)$