@qiusir:这两天讲机械振动和机械波，课堂上直接构造了模型，演示了没差异的单调和依次的波动，顺带演示了下视觉暂留，学生似乎有点热情，新疆部的两位年轻老师兼球友坚持跟着听课。过两天讲讲振动叠加和纵波，希望学生不仅会解题，还能独自构造甚至探究一下...

@qiusir:关于简谐波，纵波的疏部、密部相当于横波的平衡位置，而不是和波峰、波谷对应；现实的水波比较复杂，除了随波不逐流，可以把“摇曳”看成是既有水平方向又有竖直方向的振动叠加…… ​​​​
@qiusir:机械横波的干涉~~~

@qiusir:演示波的传播和叠加的过程中分段函数发挥作用，同时加深了波动方程的理解，至于GeoGebra曲面的功能用到3D曲线的旋转，但效果不一样。而对于颜色的跟踪，特别是淡化效果，GSP还是很便捷，很好奇这么好的小软件咋停更了呢...
@qiusir:才注意到还有个曲面的功能，简单构造了下波的干涉...

@qiusir:振动不息传波不止~~~
@Richard Feynman:Who dares to teach must never cease to learn.
@qiusir:构造了个立体的干涉图样，我学生似乎也在熬夜构造波动的模型~~~

@qiusir:有留言说我最近波涛汹涌，再来一波。关于纵波干涉的模型花了我一点时间，甚至开车的时候都浸入其中~~~ ​​​​

@qiusir:未来在接收你现在的振动。water wave~~~

@qiusir:横波、纵波、驻波~~~

@qiusir:看了一眼足球又看了一会篮球，还是上楼画图了。横波与纵波的叠加~~~ ​​​​

@qiusir:给学生编题，一不小心就画上图了。干涉加强和减弱是指振幅最大和最小，波源振动情况相同、相反和异步...

关于诺贝尔奖，中学生能懂的并不多，下面试着（半）定量研究下80年前获得诺贝尔物理学奖的一个装置，who what where when why how...

1919年卢瑟福(E.Rutherford)用天然放射源中$\alpha$ 粒子（即氦核）作为“炮弹”轰击金属箔的“靶”(atomic target)，实现了人类科学史上第一次人工核反应，发现原子核本身有结构，人们不断寻求更高能量的粒子来作为“炮弹”。
加速器是一种加速原子核和质子和电子等基本粒子的装置。为什么要加速粒子？探索原子核内部结构、粒子性质以及获得新粒子等等，让肿瘤消除，让土豆增产...

猴子砸核桃为食，而知识的探索始于好奇。瞄准乒乓球（超常部，臧泽元）的小朋友长大了没准会去轰击原子核或更小的粒子，没准会掀起宇宙的波澜...
零、直线加速器（high-frequency linear accelerator）

via[?]按照表达习惯修改了U代表电压等细节
保证粒子每次可以在正确的时间到达间隙从而被加速，当电场反向的时候，带电粒子处于屏蔽了减速电场的漂移管中，从而使整个过程加速。高频...
（为简化问题，此文把窄缝处的电场都等效为匀强电场，加速过程当成匀变速运动）
eg0:加速缝隙很小，且认为质子在每个漂移管内运行时间为半个周期。以及电压$f=1\times10^7Hz$，$v_{c_1}=8\times10^6m/s$,$v_{c_4}=1\times10^7m/s$，质子比荷$\frac{q}{m}=1\times10^8C/kg$。求漂移管C1的长度和相邻两管间的加速电压...
(0.4m $6\times10^4V$)

一、回旋加速器
早在1924年就有科学家提出直线加速器的概念，1928年出现了第一台发明了用漂移管上加高频电压原理建成的直线加速器，在此原理的启发下，劳伦斯发明了回旋加速器。

回旋加速器是通过高频交流（不涉及漂移管长度，为什么也用高频？）电压来加速带电粒子，大小从十几厘米到数米都有。由欧内斯特·劳伦斯(E.O.Lawrence)于1929年在加州大学伯克利分校发明，获1939年诺贝尔物理学奖。
二、相关参数
0、估算质子在1T磁场中偏转的频率和动能为1Mev的质子的速度为光速的多少倍
$f=\frac{qB}{2\pi m}$ $f=\frac{1.6\times10^{-19}C\times1T}{2\pi\times1.67\times10^{-27}kg}$ 估算约$10^7Hz$；$E_k=\frac{1}{2}mv^2$,$\frac{1}{2}1.67\times10^{-27}v^2=1.6\times10^{-19}\times10^6$粗略估算约光速的0.05倍
1、带电粒子能获得的最大速度$v_{m}$
在速度远小于光速的前提下，被加速n次后的带电粒子在磁场中的圆周运动满足$qv_{n}B=\frac{mv^{2}}{r_{n}}$ ，轨道半径$r_{n}=\frac{mv_{n}}{qB}$
回旋加速器的最大半径为$R$，则带电粒子能获得的最大速度$v_{m}=\frac{qBR}{m}$
与加速电压$U$无关的最大速度也可以表示成$v_{m}=2\pi{R}{f}$（$f_B=f_U$）

2、相邻轨道半径的比$\frac{r_{n+1}}{r_{n}}$
由$nqU=\frac{1}{2}m{v_n}^2$，$r_{n}=\frac{mv_{n}}{qB}$，得$r_{n}=\sqrt{\frac{2nmU}{qB^2}}$
$\frac{r_{n+1}}{r_{n}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}$，大概能理解轨道越来越密集...

3、带点粒子被电场加速的次数$n$
狭缝间加速电压$U$，由动能定理知，每加速一次对带电粒子做功为$qU$，$nqU=E_{km}$
由前面得知$v_{m}$，带电粒子能获得的最大动能为$E_{km}=\frac{1}{2}m{v_{m}}^{2}=\frac{q^2B^2R^2}{2m}$
则被加速的次数$n=\frac{qB^2R^2}{2mU}$（更应该称其为“加能器”）

4、带电粒子在磁场中运行的总时间$t_{B}$
带电粒子在磁场中做圆周运动周期为定值，$T=\frac{2\pi{m}}{qB}$。每加速一次偏转半周，$t_{B}=n\frac{T}{2}$
$t_{B}=\frac{\pi{B}R^{2}}{2U}$（时间与粒子种类无关。）

5、带电粒子在电场中运行的总时间$t_{E}$
带电粒子在狭缝间的电场中的运动可以看成是匀加速，$a=\frac{qU}{dm}$，$v_m=at_{E}$；或者通过$nd=\frac{1}{2}a{t_E}^2$求得
$t_{E}=\frac{BRd}{U}$

6、带电粒子在磁场中运动时间与在电场中运动时间的比较$\frac{t_{B}}{t_{E}}$
根据前面的结论，$\frac{t_{B}}{t_{E}}=\frac{\pi{R}}{2d}$,由于狭缝的宽度d远小于回旋加速器最大半径R，所以会有$t_{B}>>t_{E}$，这是很重要的前提。
也可以借用最后半圈的时间$t=\frac{\pi{R}}{v_{m}}$，$t_{B}=\frac{n\pi{R}}{v_m}$，而$t_{E}=\frac{nd}{\frac{v_m}{2}}$，这样比较更便捷。
（通常一个粒子在回旋加速器中心飞行到提取装置的总时间约为几个ms）
7、对不同粒子的加速问题$_{1}^{1}H$、$_{1}^{2}H$、$_{1}^{3}H$、$_{2}^{4}He$
如果某回旋加速器可以对$_{1}^{1}H$加速，不作调整还能对上述的哪个（些）粒子进行加速？
带电粒子在磁场中的运转周期和外加交流电的频率是对应的，而$T=\frac{2\pi{m}}{qB}$，对比荷相同的粒子仍然可以，但上面并没有满足这一条件的粒子。其实也可以对$_{1}^{3}H$进行加速，在磁场中运转的周期是$_{1}^{1}H$奇数倍的可以恰好赶上加速的峰值电压，也是可以的...（最大速度和最大动能是质子的多少倍？）

劳伦斯本人科普回旋加速器的原理，字幕是机器自动翻译的。ups and downs的创意...
三、相关题目

eg1:计算第一台回旋加速器能使质子获得的最大动能？（半径0.1m，B=1T，m=1.67×${10}^{-27}kg$）（结合前面估算具有1MeV动能的质子速度数值，加速电子会怎样）（直径只有12厘米，可以拿在手里，加速粒子能量可达到0.8MeV）
回旋加速器一般适用于重离子，对电子相对论效应太明显，容易出现“滑相”。
考虑相对论性效应，$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$
速度增大粒子的质量增大，绕行半圈的时间变长，以致逐渐偏离了交变电场的加速状态，因而粒子的能量达到一定的限度就不能再增大。
技术上有两种解决办法：一种是使磁极外圈的磁场逐渐增强，抵消相对论性效应的影响；另一种是调节加速电场的变化频率，使之适应相对论性效应的影响。前一种改进措施发展成为扇形聚焦回旋加速器，后一种改进措施发展成为同步回旋加速器。

eg2:某回旋加速器交变电压频率$f$，可将原来静止的$\alpha$粒子$_{2}^{4}He$加速到最大速率$v$，使它获得的最大动能为$E_k$，加速次数$n$。忽略带电粒子的初速度、所受重力、以及通过狭缝的时间，且不考虑相对论效应，交流电频率调至$2f$，则用该回旋加速器加速静止的质子$_{1}^{1}H$，能使其获得的最大速度为$2v$、最大动能$E_k$，被加速的次数$2n$

eg3:两个相同的回旋加速器分别接在加速电压为$U_1$和$U_2$的高频电源上,且$U_1>U_2$。有两个相同的带电粒子分别在这两个加速器中运动，设两个粒子在加速器中运动的时间分别为$t_1$和$t_2$，获得的最大动能分别为$E_{k1}$和$E_{k2}$，比较他们的大小。

eg4:实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为$B_m$、$f_m$，则带电粒子粒子能获得的最大动能$E_{km}$：
$f=\frac{qB}{2\pi{m}}$，$f_B=\frac{qB_m}{2\pi{m}}$，如果$f_m<f_b$，最大动能由$B_m$决定，否则由$f_m$决定。 美国劳伦斯国家实验室1954年建成的一台6.2GeV能量的弱聚焦质子同步加速器，磁铁的总重量为1万吨。有兴趣可以了解下LHC(Large Hadron Collider)...

四、E.O.Lawrence "Lawrence will always be remembered as the inventor of the cyclotron, but more importantly, he should be remembered as the inventor of the modern way of doing science." —Luis Alvarez, winner of the 1968 Nobel Prize for Physics 避免被加速粒子与空气分子碰撞，有真空的要求；还有高频电压等等，这些都有很高的技术要求。 1931年，劳伦斯和他的学生们建成了第一台回旋加速器，直径只有12厘米，加速粒子能量可达到0.8MeV。后来，在劳伦斯的领导下，在美国建成了一系列不同的回旋加速器。回旋加速器的Dee盒内要有真空的条件，交流电压的频率$10^7$ E.O.Lawrence was the "father of big science", the first to advance the idea of doing research with multidisciplinary teams of scientists and engineers. 元素周期表上第103号元素铹（Lawrencium）...
“It never does much good to find out why you can’t; put your effort into what you can do.”
— Ernest Lawrence
和说太多相比，思考不是件坏事，但和行动相比，只是思考也没有太大意义。

附：
B(magnetic flux density)
磁感应强度又称磁通量密度，国际单位为特斯拉(Tesla)，纪念美籍塞尔维亚发明家尼古拉·特斯拉。
在CGS制中，磁感应强度的单位为高斯（Gauss），纪念德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯。$1G_s={10}^{-4}T$。
一个冰箱贴的磁感应强度约$1G_s$；实验室中产生的最强瞬间磁场记录为80T...
H(magnetic field strength)
国际单位之中磁场强度的单位为A/m,在CGS制中单位为奥斯特（Oersted），符号为Oe，纪念丹麦物理学家汉斯·克里斯蒂安·奥斯特。在真空中，1Oe=1Gs。（奥斯特比欧姆待遇高，同为首字母O,欧姆被Ω替代了）
who what where when why how...

$\mathfrak{qiusir@qiutopia}$
课后的几点补充：（2019/10/15）
1、课上讲解和交流的内容是从准备的材料中提炼出来的，或说是从某一条线索推进的。主要是看核心的问题是否凸显了，然后才是问题是否清楚了，后面才是相关问题解决和熟练的练习...
2、关于引入，通过臧同学专注的击球的照片，设想未来的他，是专业的运动员？在少年班读书的他更可能成为轰击原子核甚至更小微粒的科学家。科学家身后黑板上的图和今天的课题很相近，甚至MIT卢因教授的板书也和今天课题呼应，学生大都GET了这个点，至于我特地放了瓶可乐，由于时间紧，没怎么说...从物理的角度有两种极限，一是大的极限，比如银河比如宇宙。另一种极限是小的极限，原子核，核子，夸克等等，而回到臧同学的未来，加速器不仅在探究物质机构，在医疗在生物等等方面都有应用。他的未来，无论是向着大物体还是小物体发展，都是“全方位的无限”...
3、看到外国语学校的同事来，有新疆部、理科部和少儿部的来，当然更多是高中部的，有几位别的学科老师也来了，感谢捧场...
4、杨专家评课，提到首席教师...教化学出身的他老人家还特地先学习了加速器相关知识。提到不仅是知识传授，还强调知识探究方法，引用了大脑不是容器是火把的名言。说到板书很科学，黑板白板相结合，颜色的信息凸显。不仅关心孩子的问题解决，还重视学生问题的提出...个人素质好，整合能力强。幽默，“生活中的下坡路不要悲观，动能会增加...”让他印象深刻。
5、张组长评课，提到上课的节奏感，不紧不慢，张弛有度；即便是学生没有明白也不放弃交流；课堂内外，科学素养；小孩的照片引入，PPT耳目一新，重视与学生互动...
6、杨老师评课，她很有热情，更是慷慨。很抬举我说了不少好话哈哈。提到我选了这个课题，就如我骄傲又任性哈哈，提到创新、精确的构图，提到艺术、人文的气息，颜色的信息和识别，做到了艺术美和科学美的叠加。从直线加速器到回旋加速器的呼应和递进。课后她特地拷贝了几张图...外国语的葛老师也来听课了，说重视思维培养，重视物理研究...

·高中部第258期每周一课[?]
7、感谢参与班级高二3班同学们的支持，感谢吴杰和求师得Laura、May拍照...感谢于鉴轩和石越洋两位同学的软文...另，投影用的是下面这张图片：

P.S.多日后，食堂里遇见学校的专家，特别提醒给我留言了，看了下士关于ABCD中D的读音，应该读di，不要读de。还特地问了下学生们，大家都接受为了方便区分选择题B\D而读de，包括英语老师有的也读de的。我记得大学时，公共课老师读Boy\Dog，有学生还告诉我，北京附近有还读dei，哈哈...姥专家不仅给我留了言，还写了长文。其实吧，关于矢量还是向量的说法，钱三强都让大家自己选择吧...

作图上瘾，中午没去食堂就为了这个李萨如图的九九表。振动叠加的动态过程很流畅，等有机会遇到更适合的软件或能有更巧妙的构造方法，没准可以搞个3D的...



昨晚构造的是8*8，今天没课，在办公室构造了9*9，赶在篮球开赛前，回家用台式机重新截图...

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按:最近在和几位童鞋一起交流几何光学的内容，难得的先不用追求分数的学习氛围，也就有了几何证明和诗文习作的奇葩物理作业的空间。其实十多年前我可作过“感性的几何和理性的诗歌”的讲座哈哈。这里选登了王莺瑄（女，初一）的诗文和孙浚豪（男，六年级）的证明存念。孙同学是最先采用了我设定的面镜符号并主动证明，简洁、工整的程度也不逊于学长。关于成像规律，所有镜子（凸透镜、凹透镜、凸面镜、凹面镜和平面镜）的成像都满足$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$（虚像v为负、虚焦点f为负等，平面镜看成焦距无穷大$\frac{1}{f}=0$）。这里借用王同学的题目，“光迹”也记录了我们的一段认知的旅程，其他的几位也各有特长，同样优秀。如雪莱的诗，“生命像多彩的玻璃穹顶，将永恒的白光染得五彩斑斓。”大家一起再加油~~~

我是谁 王莺瑄

我是谁
如果我是一只平面镜，
我会诚实地呈现出你的像，
你会知道你应该固执的，坚守的，
还有你要用尽一生去追逐的梦想。
我会把来自四面八方的光，
反射到黑暗的地方，
照亮天地间所有的角落，
让人们看见这个世界上的悲伤。

我是谁
如果我是一只凹面镜，
我将会聚所有人的信念，
每个人都向充实的方向偏折，
于是大家终究相聚在一点。
这一点，有着磅礴的力量，
凝聚着每个人的信仰，
不分彼此众为一体，
但每个人都重要非常。

我是谁
如果我是一只凸面镜，
我会把不同的人发散，
他们有应该承担的责任。
分离是在所难免。
可是天南海北的大家，
灵魂从未分散，
无论何时何地，
集结仍能奋战。

我是谁
如果我是一只凸透镜，
我会在危难时刻挺身而出，
深渊在侧应万死以赴，
我会发挥我所有的长处。
也许所有人只看到我的荣耀，
他们看不见我任何的辛劳，
我仍会一往无前，
无怨无悔，立汗马功劳！

我是谁
如果我是一只凹透镜，
我会守住我的担当，
我没有天才的光芒，
我只有普通人的梦想。
我站在很低的起跑线上，
抬头是等待比赛的人海茫茫，
我却只呈现出一种摸样—
在这个领域里，我是最强！

我是谁
我不知道我是谁，
但我清楚地知道我要做什么，
天地间万物都有自己原本的颜色
不会因为任何诱惑而微微偏折。
要么锋芒毕露举世皆知，
要么淡泊名利初心不忘，
哪怕是黑夜道路也永远清晰，
举目望去，我为天下安康。

光迹 王莺瑄
一
我曾走过无数的角落，
曾被不同的物质散射，
曾将那些时光刻成永恒，
也曾让白色的心灵变成我的颜色。
许多人看到了我，
但他们不知道我来路的曲折，
我是经过了谁的身侧？
多少次被打散，又愈合。

二
我漠然地从平面镜上走过，
天空放晴，
平面镜他恪尽职守，
只让人们美丽的样子进入他们丑陋的眼睛。
他从不让我微微偏离无趣的路线，
哪怕黑暗比金碧辉煌更有义有情，
他只是笑笑告诉我——
遇事，要冷静。

三
我被凸透镜会聚，
与无数个我相聚在一点，
这点散发出磅礴的力量，
晃得凸透镜睁不开眼。
我问凸透镜是否后悔，
被制成放大镜让蚂蚁遭受灾难，
她在人们的注视下，笑了，
她说，这是她价值的体现。

四
我撞到凸面镜身上，
偏离了原本的路线，晕头转向，
他顽皮的笑了，
天真地看我跌入他人的幽黑的眼睛。
人们来感谢他，
让他们的视野扩大，变得宽广，
我爬起来，没有说的是，
人们眼中的，早已不是事物原本的模样。

五
我不喜欢凹面镜，
她不懂我的梦想，
固执地让我来到一点，
无论如何，只能走过那固定的一点。
我急切的凑近天文望远镜，渴望驱散迷茫，
她笑着将我推向宇宙天边——
在被黑暗与刺眼的星光埋没的瞬间，
我看见了她内凹陷的表面。

六
我陪伴在凹透镜的身边，
天在下雨，汪洋大泽，
她却始终全神贯注，
世界里，所有的天才都消失了。
她永远只呈现一种模样，
在拼搏的岁月里，不在意任何庆贺，
发令枪响，
我见逆光前行，路已不再曲折。

七
天地间万物都有自己原本的颜色，
我有我要去奋斗的，承担的，追逐的，捍卫的，
所有人，有的是旅伴，有的是过客，
我早已不在意他人无理的批评与指责。
哪怕是黑暗道路也永远清晰，
举目望去，屏除杂念，
光的步伐永远不会停止，
光的足迹在天下世间，亦在众生眼前。

update:
葛宣甫

我是一个平面镜，
我能将光反射到人们的眼睛，
让他们看清自己，
看到世界的光明，
认识自己的心灵。

我是一个凹面镜，
能成不同的像，
消除世间的悲伤。

我是一个凸面镜，
保持着世间的永恒，
没有心灵的吹捧。

我是一个凸透镜，
我很专注，
我能放大人生的道路，
我能形成的倒像很酷，
我是沟通人与书籍的桥梁，
放大是我真正的脚步。

我是一个凹透镜，
我能发散光，
我能让近视眼看清事物的光芒，
成就一片知识的海洋，
我也曾服饰一些君王，
让他们了解星空的沧桑，
望远镜的应用，
近视镜的采取，
将光线会聚于黑暗的地方，
使我成为了世界的榜样。

如果一些镜子会合作，
我想每个都会插上一对翅膀，
能做凹面镜所不能，
在空中翱翔，
达到一些人的理想，
也会做到传说中的隐身，
受到全世界的夸奖，
他们的组合也许会是好的，
伽利略的望远镜，
我坚信合作会使镜子更加辉煌。

update:

关于不同轨道对应速度的几何构造，花了我大半个上午的时间（有趣的问题就像时间黑洞），结果还算漂亮，不过还有一点疏忽...

很多年前（大概1997年初），曾用几何画板尝试各种方法构造过圆锥曲线，也着迷圆锥曲线的统一性，那时的软件直接实现截圆锥还非常困难（现在GeoGebra很便捷实现）。其中比较喜欢的一种构造方法是利用点到圆上半自由点连线中垂线与过该点直径（半径、直线，过圆心的射线更物理一点）交点的轨迹（这种方法构造的圆锥曲线2a是等于大圆半径的一族，这个以引力为中心半径为2a的圆应该有个酷的名字吧（这个圆应该是可以构造统一引力中心下能量为其2倍（半径为一半的圆轨道）的所有可能轨道？），对应能量是不变的前提$E=-\frac{GMm}{2a}$）...很久以来也只停留在焦点、切线和其中光学性质等层面，没想到这个模型里还包含物体在有心力场中运动速度的几何对应，很是巧妙，堪称神奇...

卫星绕地球做椭圆轨道的运动，也如地球绕太阳的运动，和单个场源电荷作用下电荷的运动，都是经典物理里的有心力场。印象中大学曾推到过运动轨迹的方程，甚至很多年后让新毕业的老师也推到过，而教师的认知很符合用进废退，也是基础教育对知识的切入点的要求，一直以来繁杂的数学表达影响了思考。
Geogebra里直接提供了“密切圆”的函数，只需要用到高中的基础知识，可以利用引力的法向分力提供向心力$F_n=\frac{mv^2}{r}$），从密切圆半径和法向力来反推速度，这样就可以绕开繁杂恐怖的数学表达了。当然也回避动态的模拟（抛物线很方便，椭圆轨道可以近似实现，双曲线不那么容易...另外在前面提到的基础构造中，椭圆的引力中心和双曲线的引力中心对应点反着...），专心去探究一下轨道上各个位置速度和对应几何上的隐藏关系...

另一个焦点（非引力中心）与圆上动点连线，绕其中点旋转90°（其实就是中垂线）是圆锥曲线的切线，但这里不用直线，主要是从图形上类速度向量的平移图形。而更奇妙的是，除了速度向量平移后共圆，如果是双曲运动，速度应该也会共圆吧...

如法炮制，结论很完美，连线的绕中点的垂线段不仅是和圆锥曲线相切，而且和速度向量某种相似。不仅是速度向量平移后共圆这一点，而且发现椭圆轨道上的速度与引力中心和圆连线的长度成正比，双曲轨道的成反比。

有心力场中，椭圆和双曲线的轨道已经很好的统一了，而切割圆锥能得到的圆锥曲线中还有抛物线呢，
当然从运动速度上看，类抛体运动当属最为基础的，在匀强力场中，速度变化量必然和力同向，自然速度平移后在一条直线了，但结合前面的探索，应该有另外的视角。

抛物线构造的一种方法是利用到顶点与定直线距离相等，一方面可以看成是前面构造椭圆和双曲线中圆的半径为无穷大，圆退化成直线，圆心在无穷远；另一方面，焦点到定直线（准线）的连线不仅和速度向量平移相关（一如前面椭圆和双曲线，发线方向和速度方向垂直），大小也应该也有比例关系，对，也是成正比。
倒叙，从线段长度来倒推和速度，从运动分解角度重新构造抛物线...

从速度向量平移共圆回归到共线，从焦点到圆（抛物线对应直线）上点连线长度成正比到成反比，没想到圆锥曲线的几何构造中，有那么简单和明显的速度关系...贪心了一点，根号二倍第一宇宙速度是脱离引力中心的最小速度如何用几何证明？

我们可以通过抛物运动的二级结论以及前面的探索结论，用物理的方法构造抛物线的焦点和准线（取抛物线上任意一点，做过定点对称轴的垂线，做顶点和垂足的中点连接抛物线上的点的直线为切线，过中点做切线垂线，交前面构造直线和对称轴，交点分属准线和焦点）。至于线段与速度垂直以及长度与速度成正比可以通过几何直角三角形和水平速度和竖直速度矢量三角形相似便捷给出结论...

小结：圆锥曲线的三种（椭圆、双曲线和抛物线）不仅可以通过一种几何构造统一（利用圆上和圆内或外一点连线中垂线与过圆上该点直径交点，实现到两定点距离和、差为常数，以及利用一定点与一定直线连线中垂线与直线上该点垂线交点，实现到定点和定直线距离相等），而如此的构造模型中，和切线垂直的线段和圆锥曲线上动点速度的方向垂直，速度向量平移到虚焦点后共圆（圆周运动的速度共圆圆心在圆心，椭圆共圆偏心在圆内，双曲线共圆偏心在圆外）或共线（抛物线），且长度与速度大小正比（椭圆和抛物线）或反比（双曲线）...

以上探索最初的灵感来自Feynman's Lost Lecture (ft.3Blue1Brwon)[?]片段...

另，单一等同学已经在证明这些关系了，他数学知识有个用武之地了..."The scientist is not a person who gives the right answers, he's one who asks the right questions."理科老师的工作有时就很科学家哈哈~~~

[?]万年森等:有心力场速度矢量