JQX/进取芯 小教研第一期（2025.3.27）

一、源起
2023年夏天，J的学生在讨论一道题目时提出一个相对动能的概念。题目如下：
如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度$v_{1}$沿顺时针方向转动，传送带右端有一个与传送带等高的光滑水平面，一质量为$m$的物体以恒定的速率$v_{2}$沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面。则在整个运动过程中，传送带与物体摩擦生热为？

正常通过v-t图像进行计算，也能很快求出相对路程，进而计算生热：
当$v_1 = v_2$时：$Q = f \Delta d = 2mv_1^{2}$
当$v_1 < v_2$时：$Q = f \Delta d = \frac{1}{2}m(v_1 + v_2)^{2}$
当$v_1 > v_2$时：$Q = 2mv_1v_2$
这三个结论都存在一个非常有趣的共性：
如果定义小物块相对传送带的动能为：$E_k = \frac{1}{2}m(v_r)^2$（$v_r$为小物块相对传送带运动速度），那么$Q = \frac{1}{2}m(v_1 + v_2)^{2} - \frac{1}{2}m(v_1 - v_2)^{2}$
想对本结论进行拓展，却发现只适用于水平传送带，斜传送带并不满足。那么，这是一个巧合，还是存在内在逻辑？让我们慢慢道来。

二、碰撞系数与非弹性碰撞消耗机械能
1. 碰撞系数
牛顿从实验中总结出一条规律：碰撞后两球的分离速度$(v_2 - v_1)$与碰撞前两球的接近速度$(v_{10} - v_{20})$成正比，即$e = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{10} - v_{20}}$。对于弹性碰撞e = 1
这里有一个有意思的结论：弹性碰撞前后，两物体速度差的绝对值相等。倘若我们将碰撞时间延长，或者等效为两个小球中间连接一个理想弹簧来放大碰撞过程，便可以得到黑板右侧的图像（王聪方法）。基于过程的对称性，也同样能够证明$e = 1$。

另外，非弹性碰撞$0 \leq e < 1$。当完全非弹性碰撞时，$e = 0$。

2. 非弹性碰撞损失的机械能
碰撞前后总动量守恒：$m_1 v_{10} + m_2 v_{20} = m_1 v_1 + m_2 v_2$
恢复系数：$e = \frac{v_2 - v_1}{v_{10} - v_{20}}$
联立后，可算得机械能损耗量：$\Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} \cdot (v_{10} - v_{20})^2 \cdot (1 - e^2)$

从公式可知，恢复系数$e$越小，初始相对速度越大，能量损失就越显著。如何理解这个公式？

3. 约化质量
在两个物体的力学模型中，我们可以将两个相互作用的物体的运动问题转化为一个物体相对于另一个物体的相对运动问题，从而简化计算，计算时等效的质量就是约化质量。
约化质量通常用$\mu$表示，其计算公式为：$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$
形式类似电阻并联形式。

碰撞过程机械能损耗量的公式中，存在这个约化质量及相对速度，可视为在相对运动视角下，$\Delta E_k = \frac{1}{2} \mu v_{\text{r}}^2 (1 - e^2)$其中$e$则取决于碰撞物体的材料等。

三、柯尼希定理
柯尼希定理是质点系运动学、物理学中的一个基本定理，其文字表述是：质点系的总动能等于质心的动能，加上各质点相对于质心平动坐标系运动所具有的动能。

1.具体推导过程如下：
考虑质量分别为$m_1$和$m_2$的两个物体，其初始速度分别为$v_{10}$和$v_{20}$。
系统的质心速度为：$V_c = \frac{m_1 v_{10} + m_2 v_{20}}{m_1 + m_2}$
系统总动能为两物体动能之和：$E_{k\text{all}} = \frac{1}{2} m_1 v_{10}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{20}^2$
每个物体相对质心的速度为：$v_1' = v_{10} - V_c, \quad v_2' = v_{20} - V_c$
将原速度表达为质心速度与相对速度之和：$v_{10} = V_c + v_1', \quad v_{20} = V_c + v_2'$

带入动能并展开平方项，并将总动能拆分为三部分：$E_{k\text{all}} = \frac{1}{2}MV_c^2 + \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2 + V_c \cdot (m_1v_1' + m_2v_2')$

在质心参考系中，系统总动量为零，第三部分为0.
总动能简化为：$E_{k\text{all}} = \frac{1}{2}MV_c^2 + \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2$
柯尼希定理表明，系统的总动能等于质心动能与各质点相对质心动能之和。这一分解在分析碰撞、刚体运动等问题时非常有用。

2. 资用能

将弹性碰撞碰撞末速度公式带入柯尼希定理，相对速度一项可以化简为：$E_{k\text{r}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} \cdot (v_{10} - v_{20})^2$

可见柯尼希定理中第二项相对质心动能，为碰撞中可消耗机械能的最大值。碰撞过程中，整个系统不受外力，只有内力作用的时候，质心的动能是不变的，只有第二项可以转化，这个能量叫资用能，表示可以用来消耗的能量。如果不消耗，则为弹性碰撞，有消耗则为非弹性碰撞，同理全部消耗则为完全非弹性碰撞。

三、对传送带生热“相对动能法”的解释
如果把传送带中间过程忽略，等效为两球碰撞模型，那么，传送带速度不变，应等效为多大质量的小球？
如果质量无限大，在被碰撞后，速度不会改变。
那么系统约化质量为$\mu = m$，初始资用能为$E_0 = \frac{1}{2} \cdot m (v_{1} + v_{2})^2$

初始总动能等于质心动能与资用能$E_0$之和。
根据力学原理，由于$v_2$取值不同，系统末速度也有所差异：
当$v_1 \leq v_2$时，末态资用能$E_1 = 0$。
当$v_1 > v_2$时，末态资用能$E_1 = \frac{1}{2}m(v_1 - v_2)^2$。
因此，末态总动能等于质心动能与资用能$E_1$之和。又因系统仅有内力作用，无外力介入，故质心动能在过程中保持不变。
那么，摩擦生热即为碰撞前后总动能的差值，资用能的差值，即体现为“相对动能”的差值。

思考：为什么斜传送带不能使用“相对动能法”呢？

斜传送带竖直方向有重力做冲量，故不满足动量守恒这一“相对动能法”的基本条件，所以不能使用了。

除了传送带外，还有哪些情况，可以使用柯尼希定理中的“资用能”呢？

动量守恒中的模型：如板块模型、子弹打木块、圆弧小车、冲击摆、弹簧小球等，可以秒出摩擦生热或转化的势能。

对撞机：对撞动量相反，质心动能为0，全部能量均为资用能；两个相对速度越大，资用能越大。

J的后记：在日常教学中，我时常教育学生："课堂上能听懂，只能说明老师逻辑清晰、表达准确，不代表学生领悟了知识本质，只有课后独立演算，才能真正理解因果关系，完成知识内化。"在整理这篇文章的过程中，我有了更深刻的体会。JQX首次研讨，qiusir的讲授逻辑严密，复杂过程总能抽丝剥茧简洁表述，令我茅塞顿开。但几天后在文章中复现时，才察觉那些思维过程不经由亲笔演算，很难参透这连串的逻辑链条。

“进”悟物理，“取”真求深，“芯” 火相传，“进取芯”将持续解锁知识奥秘，敬请关注！

下期预告
从动生电动势到参考系的变换——-电磁感应的另一种打开方式

一个线圈匀速进入匀强磁场的过程中，以磁场为参考系，是线圈在运动，切割磁感线，产生动生电动势；
而以线圈为参考系，是磁场在变化，于是产生感生电动势。
到底是动生还是感生？
为什么不同的参考系会给出不同的解释？
空间中的电场和磁场，真的可以相互转化吗？
下次教研，我们将围绕这个经典模型展开讨论，从两个高考题出发，一起梳理动生与感生的本质联系，走进参考系变换视角下的电磁感应。

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首先，感谢邱sir这次和我提议将这堂课整理一下并放到网站上。其实我心里还是有些惶恐，毕竟感觉自己这样普通的一堂课，放到网站上可能无法给大家提供太多借鉴意义，不过就当作是为自己做个记录吧。

这堂课最开始设计的是磁铁和小铁块在铝管中的对比实验，首先让小铁快在铝管中落下，然后让以为同学在铜管中吹一口仙气，发现铁块可以在铜管中缓慢的落下。其实是我偷偷的把铁块换成了磁铁，那么为什么磁铁的下降速度就会变慢呢，带着这个问题，进入了本节课的学习。

一、感生电场与感生电动势
1820年，奥斯特发现了电流的磁效应；1831年，法拉第发现了电磁感应。同一年，麦克斯韦出生。麦克斯韦被誉为是牛顿与爱因斯坦时代之间最伟大的物理学家。1862年到1863年，麦克斯韦提出了麦克斯韦方程组，它被认为是物理学中最优美的方程组。1879年，麦克斯韦离世，伟大的经典物理也随之落幕，但同一年，爱因斯坦出生，标志着现代物理革命的开始。
麦克斯韦的四个方程组分别描述了电和磁的高斯定律、法拉第电磁感应定律（即变化的磁场产生电场）、以及麦克斯韦-安培定则（即变化的电场产生磁场）。
麦克斯韦认为，变化的磁场所产生的电场与我们之前学习过的静电场不同。变化的磁场产生的电场像水中的漩涡一样，没有明确的起点或终点，因此被称为涡旋电场。
如果在涡旋电场中放入一个金属导体，导体中的自由电子将会定向移动，形成涡旋电流，简称涡流。根据法拉第电磁感应定律，磁通量的变化会产生感应电动势。磁通量由磁感应强度B和横截面积S共同决定。我们之前学习的导体切割磁感线就是改变磁通量中的S。类似地，改变磁感应强度B也会产生感应电动势。通过磁场变化产生的电动势称为感生电动势，而通过导体切割磁感线产生的电动势则被称为动生电动势。

感生电动势源自磁场变化，而动生电动势源自导体切割磁感线。感生电动势中是电场力做功使电子加速，而动生电动势则是洛伦兹力做功使电子加速。尽管二者的产生原因和所用的非静电力不同，看起来它们是完全不同的两种电动势，但二者却巧妙地都符合法拉第电磁感应定律。

二、电子感应加速器
现代科技中经常需要用到高速运动的电子，电子感应加速器就是利用电磁感应来加速电子的装置。为了弄清楚一些关键问题，我们需要明确以下几点：

1.磁场发生变化时，感应电流的方向是怎样的？ 可以直接用楞次定律来判断。
2.是什么力使电子加速？ 这肯定不是洛伦兹力。首先，洛伦兹力不能使静止的电子加速；其次，洛伦兹力本身不做功。因此，电子加速的唯一可能原因是电场力的作用。
3.感应电场的方向与电子的运动方向相反，而与感应电流的方向相同。 洛伦兹力在此起到束缚电子做圆周运动的作用，所以感应电场的场强应该增强，这样洛伦兹力才能与电子的速度匹配。
三、涡旋电场与静电场
涡旋电场与静电场在产生方式、电场线特点、场强方向等方面有显著不同。比较特别的一点是，由于涡旋电场的电场线是闭合的，因此涡旋电场没有电势的概念。否则，就会出现类似“孙子比爷爷还大”的矛盾。
四、涡流
1.涡流的热效应
在使用电磁炉时，我们常发现食物加热后，电磁炉的面板却没有变热。那么，电磁炉是如何隔空加热食物的呢？电磁炉内部有一个线圈，交变电流通过线圈时，产生变化的磁场。这变化的磁场在空间中激发出感应电场，铁锅中的电子在涡旋电场中运动形成涡流，涡流的热效应加热了食物。
如果这个猜想是正确的，那么如果我在电磁炉上方放一个线圈，也应该能产生感应电流。如果我在线圈中放一个小灯泡，是否会亮呢？通过实验验证，果然小灯泡亮了。
那么，如果将锅换成非金属的材料呢？如果是塑料锅，它不能提供自由电子，因此无法产生涡流，也就无法加热食物。

2.真空冶炼炉
显然，如果把食物换成金属，是可以加热的。这种方法虽然不能应用于烹饪，但在工业生产中却有广泛应用。真空冶炼炉便是利用了这一原理。顾名思义，真空冶炼炉可以在真空环境中工作，而真空意味着没有火。那么，没有火如何完成金属冶炼呢？真空冶炼炉通过高频交流电源的线圈在炉内产生变化的磁场，使炉内的金属加热。
3.涡流的磁效应
在这里，我让同学们回答探测器的原理。大家非常配合，并清晰地给出了回答。探测器运用了涡流的磁效应。之前，我曾有个误区，以为是涡流产生的磁场再次在探测器中产生涡流，引起警报。实际上，涡流产生的磁场在探测器中产生了干扰，从而引发警报。探雷器和安检门也应用了相同的原理。
4.防止涡流的方法
为了减少涡流的影响，可以采取几种方法：一种是增大铁芯的电阻率，另一种是使用绝缘的硅钢片来替代整块硅钢铁心。
五 电磁阻尼
1.阻尼摆
如何让阻尼摆尽快停下来？
加入磁铁后，阻尼摆快速停下来的原因是什么？
如何减小铝片的阻尼？这里可以结合减少涡流的方法，例如减少电阻率或将铝片切割成带狭缝的形状。

2.磁铁在铜管中的下落

这一现象与阻尼摆的原理相似。磁铁上方的铜管中存在一个闭合回路，当磁铁下降时，回路中的磁通量减小。这时，可以将该回路等效为一个磁铁，它与铜管中下降的小磁铁相互吸引。同理，下一个实验中，如果铜管下方设置一个闭合回路，等效的磁铁将与小磁铁相互排斥。两者共同作用，阻碍小磁铁的运动。这种现象称为电磁阻尼。
其实，也可以通过考虑铜管中带电粒子受到洛伦兹力的影响来解释这一现象，或者直接应用楞次定律中的“来据去留”原则进行判断。电磁阻尼和电磁驱动的原理都符合楞次定律，意味着安培力总是阻碍导体之间的相对运动。
六：电磁驱动
既然电磁阻尼可以阻碍相对运动，那么这种“阻力”也可以转化为动力。在课堂上，我演示了如何通过旋转的磁铁带动铝框的运动，同样，让同学们参与回答，感觉他们逐渐进入状态，回答也变得更加清晰有条理。
最后，我介绍了一个电磁驱动的小应用：磁控连续体微型机器人。这种机器人利用外部磁场控制体内大约2毫米大小的机器人进行手术操作，其操作精度远超人工手术。

七：课后感悟
课后回想起来，准备过程虽然很匆忙，也有些紧张，但在课堂上却觉得自己自然了很多。过程中有几个小小的细节值得一提：
1.小磁铁实验的意外
最开始的那个小磁铁从铜管中下落的实验，我竟然忘记带小磁铁。虽然提前准备了很久，但还是出了这样的事故。在讲解时，我临时调整了内容，提出：“那么我们能不能让这个铁块缓慢地从铜管中落下呢？”即我把原计划要演示的实验放到了后面。这时，我的师妹悄悄从后面把磁铁送了过来。想起有一年春晚，赵本山和宋丹丹的小品《小崔说事》，赵本山上台时忘了拿包，场下的工作人员都非常紧张，但宋丹丹及时上前与小崔互动，吸引了观众的注意，给了赵本山挽回的时间。或许一堂课也有类似的情况，首先要保证课堂的连贯性。后来与同事们交流时，大家竟然没有发现我忘记带磁铁这个小意外，他们反而认为我本来的安排就是这样。
2.阻尼摆实验
在讲解阻尼摆时，学生提出增大电阻率来减小涡流。其实我原本并没有想到这一点，但恰好可以与之前讨论的涡流防止方法相结合。不过，学生没有提到应该将铝片剪成带狭缝的形状来减小涡流。我开玩笑说：“这位同学可能觉得铝摆不是自己的，不能随便剪。”

3.电磁阻尼在医学中的应用
在课的最后，我提到如何解决现代医学中手术操作难度高、容易受误差影响的问题。有学生回答说，可以利用电磁阻尼来提高手的稳定性。尽管这个想法的可行性尚待验证，但我觉得它真的很有创意。也许将来，电磁阻尼技术真能应用到手术操作中，提高手术精度。
4.课堂互动的改进
课上，每个同学回答问题时都需要申请麦克风，然后由负责的老师把麦克递给他。这样由老师来回传递麦克风耽误了不少时间，而我课上设计了十几个提问。在课开始时，我就考虑到这个问题。后来，当一位同学回答完问题后，我说：“麦克就放在你那里，由你开始传递。”这样就不需要老师来回递麦克风。更重要的是，学生们不再只是被动地接受提问，而是开始主动选择下一位回答者，课堂的参与度也更高，学生们从被动的听众变成了组织者。在后续的回答中，我也发现学生们渐渐进入状态，回答问题变得更流畅。
5.周三的课和交通事故
周三的课，我对周二的试讲仍然不太满意。周二晚上，我还出了点交通事故。当交警到达现场时，我发现对方与我都是内蒙古人。那对夫妇人很好，看到我年轻，觉得我和他们的孩子差不多大，他们还安慰我说：“谁的车都会出点事故，没关系的。”虽然发生了事故，但由于对方态度很好，我的心情没有因此太差。第二天还要上课，但我感到安慰的同时，也感受到一种平和。

课后，我收到了专家的赞扬，这可能是我教学生涯中得到的最大赞誉了吧。专家认为感生电动势应该被放入本节课中，并且赞赏我在电磁阻尼部分的解析图。
在课前，邱sir、我的师父王国勇老师、新疆部的唐亮老师，以及金老师给了我很多建议。由于他们的建议和帮助实在太多，难以一一列举，但每次在公开课后，听到各种想法、教育见解和教育理念，我都觉得自己有很多需要学习的地方。